Enunciado

O lado x de um cubo é medido com um erro de no máximo 0,5%. Qual é a porcentagem máxima de erro correspondente no cálculo:

  1. da área de superfície?
  2. do volume?

Passo 1

  1. da área de superfície?

A porcentagem de erro no cálculo de algum valor X é dado pelo quociente entre a variação do valor e o próprio valor. Traduzindo pra matemática: P e = d X x .

Isso porque o erro é dado pela variação d x e a porcentagem é feita em cima do valor inicial X. Mas para simplificar vamos usar a relação acima.

Assim, a porcentagem do erro de cálculo do lado do cubo é d x x ≤ 0,5 % (dado no enunciado); a porcentagem de erro de cálculo da área da superfície do cubo é dada por: d A A .

Temos que a A = 6 x 2 , d A = 12 x   d x .

Substituindo na porcentagem de erro então temos: d A A = 12 x   d x 6 x 2

Simplificando: d A A = 2 d x x , substituindo pelo valor do erro dado:

d A A = 2 × 0,5 % = 1 %

Ou seja, a porcentagem de erro máxima no cálculo da área da superfície do círculo é 1%.

Passo 2

  1. do volume?

Vamos proceder da mesma forma do item anterior. A porcentagem de erro no cálculo do volume do cubo é dada por: P e =   d V V .

E como temos V = x 3 e d A = 3 x 2   d x ...

P e = 3 x 2 d x x 3    

E simplificando...

P e = 3 d x x

Logo: P e = 3 × 0,5 % = 1,5 % .

Que é o erro máximo para o cálculo do volume.

Resposta

  1. 1%
  2. 1,5%
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que y = f x seja derivável em x = a e que g x = m x - a + c seja uma função linear, em que m e c sejam constantes. Se o erro E ( x )=f ( x )-g ( x ) for suficientemente pequeno perto de x=a ,
O raio de uma circunferência aumentou de 2 m para 2,02 m.Estime a variação resultante na área. Expresse a estimativa como uma porcentagem da área inicial da circunferência.
Estime a porcentagem de erro admissível para medir o diâmetro D de uma esfera se o volume deve ser calculado corretamente dentro de 3%.
Quão exata deve ser a medição do diâmetro interno de um tanque cilíndrico de armazenagem com 10 m de altura para que o cálculo de seu volume fique a 1 % do valor real? Quão exata deve ser a medição do
O diâmetro de uma esfera é medido como 100 ± 1 cm e o volume é calculado a partir dessa medição. Estime a porcentagem de erro no cálculo do volume.