Enunciado

Na análise de uma coluna fina e uniforme de altura L que se curva sob a ação do próprio peso, encontramos o seguinte problema de valor de contorno:

θ ' ' + δ g E I L - x θ = 0 ,     θ 0 = 0 ,     θ ' L = 0

Aqui, E é o método de Young, I é o momento de inércia da seção transversal, δ , a densidade linear, x a distância medida ao longo da coluna e θ x , a deflexão angular da coluna em relação à vertical em um ponto P ( x ) . Veja a figura 6.5. Obtenha uma solução em série de potências para a equação diferencial que satisfaça a condição θ ' L = 0 . Por conveniência, defina λ 2 = δ g L / E I e faça a mudança de variável t = L - x .

Passo 1

Vamo que vamo que esse é o último exercício dessa seção

Pra começar, já vamos seguir o conselho do enunciado chamando t = L - x , aí temos

d θ d x = - d θ d t

d ² θ d x ² = d ² θ d t ²

E nossa equação diferencial fica assim:

d ² θ d t ² + λ 2 t θ = 0 ,       θ L = 0 ,     θ ' L = 0

Agora vamos resolver isso usando série de potências, encontrando:

c k + 2 = - λ ² k + 2 . ( k + 1 ) c k - 1 ,   k = 1,2 , 3 …

Passo 2

Temos

c k + 2 = - λ ² k + 2 . ( k + 1 ) c k - 1 ,   k = 1,2 , 3 …

Fazendo c 0 = 1 e c 1 = 0 , temos

c 2 = 0

c 3 = - λ 2 6

c 4 = c 5 = 0

E fazendo c 0 = 0 e c 1 = 1 , temos

c 2 = c 3 = 0

c 4 = - λ 2 12

Então, a solução geral é

y = C 1 . 1 - λ 2 6 t 3 + … + C 2 . t - λ 2 12 t 4 + …

Agora vamos aplicar as condições iniciais beleza?

Aplicando θ ' L = 0 , encontramos C 2 = 0 , então:

y = C 1 . 1 - λ 2 6 t 3 + …

Resposta

y = C 1 . 1 - λ 2 6 t 3 + …

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