Enunciado

Analise a função trigonométrica f no intervalo especificado, enunciando onde f é crescente, decrescente, côncava para cima e côncava para baixo e dando as coordenadas x de todos os pontos de inflexão. Confirme se seus resultados são consistentes com o gráfico gerado por um recurso.

f x = cos ⁡ x ; [ 0 ,   2 π ]

Passo 1

O primeiro passo que precisamos saber, para determinar a derivada da função:

f ' x = - s e n ( x )

Essa função zera quando :

x = 0

x = π

x = 2 π

A função é crescente quando a primeira derivada é positiva, quando :

f ' ( x ) = - s e n ( x ) > 0

Isso acontece quando estamos no intervalo de ( π ,     2 π ) .

Dentro desse intervalo, a função está sempre crescendo.

  1. A função é decrescente quando a primeira derivada é negativa, quando:

f ' ( x ) = - s e n ( x ) < 0

E quando isso acontece? No intervalo de menos infinito até o zero da função x :   ( 0 ,   π ) .

Dentro desse intervalo, a função está sempre decrescendo.

Passo 2

Para os próximos passos vamos calcular a segunda derivada.

f ' '   ( x ) = - c o s ⁡ ( x )

Essa função zera quando:

x = π 2

x = 3 π 2  

Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima onde f ' '   x > 0 . Isso acontece quando:   0 , π 2 e π 2 , 3 π 2

Os demais valores fora do intervalo, tem concavidade para baixo onde f ' '   x < 0 . Isso acontece quando: π 2 , 3 π 2 e 3 π 2 , 2 π .

O ponto de inflexão é nas raízes onde a segunda derivada é nula, em   x = π 2 e   3 π 2 .

Todos esses valores podem ser comprovados com análise gráfica de:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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