Enunciado

Analise a função trigonométrica f no intervalo especificado, enunciando onde f é crescente, decrescente, côncava para cima e côncava para baixo e dando as coordenadas x de todos os pontos de inflexão. Confirme se seus resultados são consistentes com o gráfico gerado por um recurso.

f x = s e n x . cos ⁡ x ;   0 ,   π

Passo 1

O primeiro passo que precisamos saber, para determinar a derivada da função:

f '   ( x ) = cos 2 ⁡ x - s e n 2 ( x )

Essa função zera quando :

x = π 4

x = 3 π 4

A função é crescente quando a primeira derivada é positiva, quando :

f ' ( x ) = cos 2 ⁡ x - s e n 2 ( x ) > 0

Isso acontece quando estamos no intervalo de ( 0 , π 4   ) e ( 3 π 4 ,   π )

Dentro desse intervalo, a função está sempre crescendo.

A função é decrescente quando a primeira derivada é negativa, isso acontece quando ( π 4 ,   3 π 4 ) .

Passo 2

Para os próximos passos vamos calcular a segunda derivada.

f ' '   x = - 4 s e n x . c o s ⁡ ( x )

Essa função zera quando:

x = 0

x = π 2

x = π

Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima onde f ' '   x > 0 . Isso acontece quando:   π 2 ,   π .

Os demais valores fora do intervalo, tem concavidade para baixo onde f ' '   x < 0 . Isso acontece quando: 0 , π 2 .

O ponto de inflexão é nas raízes onde a segunda derivada é nula, em   x = 0 e x = π 2 .

Todos esses valores podem ser comprovados com análise gráfica de:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da
Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da
Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da
Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da
Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da