Enunciado

Analise as funções trigonométricas f nos intervalos especificados indicando onde f é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, e as coordenadas x de todos os pontos de inflexão. Verifique se seus resultados estão em conformidade com o gráfico de f gerado por algum recurso computacional.

36. f x = 2 x + cotg ⁡ x ,   ( 0 ,   π )

Passo 1

Peguemos o gráfico da função, dentro do intervalo pedido, pra já termos uma melhor ideia dos nossos resultados:

Passo 2

f vai ser crescente entre os pontos de mínimo e os pontos de máximo, nesta ordem, necessariamente. Pra determiná-los, precisamos derivar a função e igualar a derivada a zero.

Temos:

f ' x = 2 - csc 2 ⁡ x

Igualando a zero, vamos ter:

2 - csc 2 ⁡ x = 0

csc 2 ⁡ x = 2

csc ⁡ x = 2

1 sen ⁡ x = 2

sen ⁡ x = 1 2 = 2 2

Do ciclo trigonométrico, temos que o ângulo cujo seno vale 2 2 é o ângulo de 45 ° = π 4 , mais todos os arcos que distam k π desse ângulo, onde k é um número inteiro qualquer.

Dentro desse intervalo, ( 0 ,   π ) constam os arco de π 4 e 3 π 4 , que são nossos pontos de mínimo e máximo, respectivamente!

Dessa forma, ao observar pelo gráfico, o intervalo onde a função é crescente será entre os pontos críticos:

( π 4 , 3 π 4 )

A função será decrescente em:

0 , π 4 ∪ ( 3 π 4 ,   π )

Passo 3

Pra verificar os intervalos de concavidade voltada pra cima e pra baixo, precisamos dos pontos de inflexão, que se determinam quando igualamos a derivada segunda da função a zero.

Temos:

f ' ' x = 2 csc 2 ⁡ x cot ⁡ x

Igualando a zero, vamos ter:

2 csc 2 ⁡ x cot ⁡ x = 0

csc 2 ⁡ x cot ⁡ x = 0

Pelas identidades trigonométricas, reescrevemos da seguinte forma:

cos ⁡ x sen 3 ⁡ x = 0

Pra que isso valha, temos que:

cos ⁡ x = 0

O ângulo cujo cosseno é zero é x = π 2 , que está dentro do intervalo trabalhado. Então, esse é o ponto de inflexão. Os intervalos de concavidade voltadas pra cima e pra baixo serão:

Pra cima: ( 0 , π 2 )

Pra baixo: ( π 2 ,   π )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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