Enunciado

45. a) Mostre que ln ⁡ x + 1 ≤ x se x ≥ 0 .

b) Mostre que ln ⁡ x + 1 ≥ x - 1 2 x 2 se x ≥ 0 .

c) Confirme as desigualdades em a) e b) com um recurso gráfico.

Passo 1

a) Então pessoal, a princípio temos o seguinte:

x - ln ⁡ x + 1 ≥ 0

Para x = 0 temos que o lado esquerdo da inequação da zero mesmo, então a igualdade não precisamos provar. No entanto, quanto à crescência teremos que utilizar o conceito de derivada primeira. A derivada primeira irá nos fornecer a prova necessária para demonstrar que, de fato, a função que escrevemos só é crescente quando x ≥ 0 . Sendo assim, derivando:

1 - 1 x + 1 ≥ 0

Agora o que devemos fazer é analisar os dois casos possíveis, que é para f ' x > 0 e para f ' x = 0 , então bora lá!

Passo 2

Para o primeiro caso:

1 - 1 x + 1 > 0

Isso só acontece se x > 0 , uma vez que:

x + 1 - 1 x + 1 > 0

x > 0

E para o segundo caso:

1 - 1 x + 1 = 0

x = 0

Sendo assim, de acordo com nossa derivada conseguimos concluir que, de fato, ln ⁡ x + 1 ≤ x se x ≥ 0 .

Passo 3

b) Assim como na letra a), aqui temos o seguinte:

ln ⁡ x + 1 - x + 1 2 x 2 ≥ 0

Para x = 0 temos que o lado esquerdo da inequação da zero mesmo, então a igualdade não precisamos provar. No entanto, quanto à crescência teremos que utilizar o conceito de derivada primeira. A derivada primeira irá nos fornecer a prova necessária para demonstrar que, de fato, a função que escrevemos só é crescente quando x ≥ 0 . Sendo assim, derivando:

1 x + 1 - 1 + x ≥ 0

1 - x - 1 x + 1 + x ≥ 0

- x + x 2 + x x + 1 ≥ 0 ⇒ x 2 x + 1 ≥ 0

Agora o que devemos fazer é analisar os dois casos possíveis, que é para f ' x > 0 e para f ' x = 0 , então bora lá!

Passo 4

Para o primeiro caso:

x 2 x + 1 > 0

x > 0

E para o segundo caso:

x 2 x + 1 = 0

x = 0

Sendo assim, de acordo com nossa derivada conseguimos concluir que, de fato, ln ⁡ x + 1 ≥ x - 1 2 x 2 se x ≥ 0 .

Passo 5

c) Então galera, se plotarmos os gráficos das funções da letra a), ou seja:

y = x

y = ln ⁡ x + 1

Teremos:

No qual a função em vermelho é y = x e a função em azul é y = ln ⁡ x + 1 . Pelo gráfico conseguimos notar que para x ≥ 0 a função y = x é maior do que y = ln ⁡ x + 1 .

Agora plotando os gráficos da letra b):

y = x - 1 2 x 2

y = ln ⁡ x + 1

Teremos:

No qual a função em vermelhor é y = x - 1 2 x 2 e a função em azul e y = ln ⁡ x + 1 . Pelo gráfico também conseguimos notar que para x ≥ 0 a função y = ln ⁡ ( x + 1 ) é maior do que y = x - 1 2 x 2 . Uma ressalva é que isso não ocorre para x < 0 , como podemos notar.

E essa é a nossa análise da questão, pessoal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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