Enunciado

Mostre que o segmento de reta tangente ao gráfico de y = 1 x que é cortado fora pelos eixos coordenados é bissectado pelo ponto de tangência.

Passo 1

E aí, tudo bem?

Agarrou nessa coisa de bissectado aí? Não se assuste, isso significa dividir em duas partes iguais. Ou seja, a gente quer mostrar que o ponto de tangência parte o segmento de reta tangente (que é cortado fora pelos eixos) exatamente ao meio.

Tá... mas como?

Vamos começar chamando o ponto de tangência de x 0 ,   y 0 .

Passo 2

Ok, vamos escrever a reta tangente agora. Precisamos derivar a função:

y ' =   - 1 x 2

E aí a reta tangente no nosso ponto x 0 ,   y 0 é:

y - y 0 =   - 1 x 0 2 x - x 0

Sendo que y 0 = 1 x 0 , porque esse ponto pertence à curva...

y - 1 x 0 =   - x x 0 2 + 1 x 0

y =   - x x 0 2 + 2 x 0

Essa é a reta tangente!

Passo 3

Agora vamos lá: onde essa reta tangente intersecta os eixos x   e   y ?

  • Eixo x   (onde y = 0 ) :   x = 2 x 0
  • Eixo y (onde x = 0 ) : y = 2 x 0

E como y 0 = 1 x 0 , temos que x 0 = 1 y 0   e daí temos:

y = 2 y 0

Ou seja, os pontos de interseção são:

2 x 0 ,   0     e     0,2 y 0

Esses são os pontos de extremidade do segmento cortado pelos eixos.

E aí o ponto de tangência ( x 0 ,   y 0 ) é o ponto médio disso.

E assim provamos o que queríamos😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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