Enunciado

  1. Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .
  2. Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.
  3. Verifique seu resultado na parte (b) traçando R n x

f x = x sen ⁡ x ,                     a = 0 ,                     n = 4 ,                   - 1 ≤ x ≤ 1

Passo 1

  1. Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é
  2. ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

    Para n = 4 precisaremos até a quarta derivada, então derivando e substituindo no centro x = 0

    f = x sen ⁡ x ⇒ f 0 = 0

    f ' = sen ⁡ x + x cos ⁡ x ⇒ f ' 0 = 0

    f ' ' = cos ⁡ x + cos ⁡ x - x sen ⁡ x = 2 cos ⁡ x - x sen ⁡ x ⇒ f ' ' 0 = 2

    f ' ' ' x = - 2 sen ⁡ x - sen ⁡ x - x cos ⁡ x = - 3 sen ⁡ x - x cos ⁡ x ⇒ f ' ' ' 0 = 0

    f 4 x = - 3 cos ⁡ x - cos ⁡ x + x sen ⁡ x = - 4 cos ⁡ x + x sen ⁡ x ⇒ f 4 0 = - 4

    Então nosso polinômio é

    T 4 = 0 + 0 x + 2 2 ! x 2 + 0 x 3 - 4 4 ! x 4

    T 4 = x 2 - x 4 3 !

    Passo 2

  3. Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se f n + 1 ( x ) ≤ M , então
  4. R n x < M n + 1 ! x - a n + 1

    Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da quinta derivada

    f ( 5 ) x = 4 sen ⁡ x + sen ⁡ x + x cos ⁡ x = 5 sen ⁡ x + x cos ⁡ x

    Se olharmos o gráfico dessa função, podemos ver que no intervalo - 1 ≤ x ≤ 1 , ela não ultrapassa o 5 , então podemos usar

    M = 5

    Passo 3

    Temos então que

    R 4 x ≤ 5 5 ! x 5

    Agora precisamos do valor de x 5 , podemos reescrever o intervalo - 1 ≤ x ≤ 1 em módulo

    x ≤ 1

    Elevando a quinta potencia

    x 5 ≤ 1

    Logo

    R 4 x ≤ 5 5 ! = 1 4 !

    R 4 x ≤ 0,041666 … = 4,2 × 10 - 2

    Passo 4

  5. Traçando o gráfico de | R n | , para achar a função R n vamos usar a definição que diz

R n = f x - T n

R 4 = sen ⁡ x - T 4

R 4 = x sen ⁡ x - x 2 - x 4 3 !

R 4 = x sen ⁡ x - x 2 - x 4 3 !

No plano

Pelo gráfico podemos ver que o erro é menor que 1 × 10 - 2 .

Resposta

  1. T 4 = x 2 - x 4 3 !
  2. R 4 x ≤ 4,2 × 10 - 2
  3. y = | R 4 ( x ) |

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