Enunciado

  1. Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .
  2. Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n x quando x estiver no intervalo dado.
  3. Verifique seu resultado na parte b) plotando R n x

f x = cos ⁡ x ,     a = π 3 ,     n = 4 ,     0 ≤ x ≤ 2 π / 3

Passo 1

Temos que fazer três coisas nesta questão: determinar o polinômio de Taylor; estimar a precisão da aproximação no intervalo dado; plotar R n x e verificar o resultado da aproximação.

Sendo assim, precisamos começar escrevendo o polinômio de Taylor. Como a questão nos disse que a = π / 3 e n = 4 , o nosso polinômio será:

T 4 x = f 0 π 3 0 ! x - π 3 0 + f 1 π 3 1 ! x - π 3 1 + f 2 π 3 2 ! x - π 3 2 + f 3 π 3 3 ! x - π 3 3 + f 4 π 3 4 ! x - π 3 4

Portanto, temos que determinar as derivadas parciais e aplicar no ponto x = π / 3 . Desta forma,

f x = cos ⁡ x ⟹ f π 3 = 1 2

f ' x = - sen ⁡ x ⟹ f ' π 3 = - 3 2

f ' ' x = - cos ⁡ x ⟹ f ' ' π 3 = - 1 2

f 3 x = sen ⁡ x ⟹ f 3 π 3 = 3 2

f 4 x = cos ⁡ x ⟹ f 3 π 3 = 1 2

Portanto, o polinômio de Taylor é:

T 4 x = 1 2 0 ! x - π 3 0 - 3 2 1 ! x - π 3 1 - 1 2 2 ! x - π 3 2 + 3 2 3 ! x - π 3 3 + 1 2 4 ! x - π 3 4

T 4 x = 1 2 - 3 2 x - π 3 - 1 4 x - π 3 2 + 3 12 x - π 3 3 + 1 48 x - π 3 4

Passo 2

A desigualdade de Taylor nos diz que

R 4 x ≤ M 5 ! x - π 3 5

Onde f 5 ≤ M . Portanto, para descobrirmos quem é M , precisaremos descobrir primeiro quem é f 5 , e depois aplicar x = 2 π / 3 , pois esse é seu ponto de máximo. Sendo assim,

f 5 x = - sen ⁡ x

f 5 x = - sen ⁡ x = sen ⁡ x ≤ sen ⁡ 2 π 3 = 3 2

Portanto, podemos tomar M como 3 / 2 . Como 0 ≤ x ≤ 2 π 3 , o erro será máximo quando x = 2 π / 3 . Desta forma, temos:

R 4 x ≤ M 5 ! x - π 3 5 = 3 2 ⋅ 120 ⋅ π 3 5 < 0,0 091

Passo 3

Para compararmos o erro, vamos utilizar softwares para plotar a curva R 4 x = f x - T 4 x . Portanto, temos:

O erro gráfico foi ligeiramente maior que o erro calculado anteriormente. Mesmo assim, ambos foram menor que 0,01 .

Resposta

  1. T 4 x = 3 2 - 1 2 x - π 3 - 3 4 x - π 3 2 + 1 12 x - π 3 3 + 3 48 x - π 3 4

  2. R 3 x < 0,058

  3. O resultado real é aproximadamente o mesmo que o erro calculado.

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