Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial.

F x , y , z = i + x + y z j + x y - z k

Passo 1

Primeiro vamos nos lembrar o que é um rotacional e o que é um divergente. O rotacional de um campo pode ser visto como o produto vetorial do operador gradiente com o gradiente da função. Sabendo que F = P i + Q j + R k , então

F x , y , z = i + x + y z j + x y - z k

P = 1

Q = x + y z

R = x y - z

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional a partir dessa formulinha bonita aqui,

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Como a gente já descobriu quem são P , Q   e   R vamos colocar as derivadas parciais deles

r o t   F = x - y i + 0 - y j + 1 - 0 k

Etnão nosso rotacional é

r o t   F = x - y i - y j + k

Passo 3

Já o divergente pode ser visto como o produto interno de um operador gradiente uma função, logo,

d i v   F = ∇ ⋅ F

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Como sabemos quem são P , Q   e   R vamos partir pra cima disso daí e calcular o divergente!

d i v   F = 0 + z - 1 2 z

d i v   F = z - 1 2 z

Resposta

r o t   F = x - y i - y j + k

d i v   F = z - 1 2 z

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