Enunciado

Se um arame com densidade linear ρ x ,   y ,   z está sobre uma curva espacial C , seus momentos de inércia em relação aos eixos x , y e z são definidos por

I x = ∫ C ( y 2 + z 2 ) ρ x ,   y d s

I y = ∫ C ( x 2 + z 2 ) ρ x ,   y d s

I z = ∫ C ( x 2 + y 2 ) ρ x ,   y d s

Determine os momentos de inércia do arame do Exercício 3 5 .

Passo 1

Galera, do Execício 3 5 tiramos as seguintes informações:

x = 2   s e n   t   ,       y = 2 cos ⁡ t ,       z = 3 t   ,       d s = 13   d t         0 ≤ t ≤ 2 π

Com base nisso, podemos calcular os momentos de inércia:

I x = ∫ C ( y 2 + z 2 ) ρ x ,   y d s = ∫ 0 2 π 13   k   ( 4 cos 2 ⁡ t + 9 t 2 ) d t = 13   k 4 1 2 t + 1 4 s e n 2 t + 3 t 3 0 2 π = 13   k 4 π + 24 π 3 = 4 13 π k ( 1 + 6 π 2 )

Passo 2

Continuando:

I y = ∫ C ( x 2 + z 2 ) ρ x ,   y d s = ∫ 0 2 π 13   k   ( 4   s e n 2   t + 9 t 2 ) d t = 13   k 4 1 2 t - 1 4 s e n 2 t + 3 t 3 0 2 π = 13   k 4 π + 24 π 3 = 4 13 π k ( 1 + 6 π 2 )

I z = ∫ C ( x 2 + y 2 ) ρ x ,   y d s = ∫ 0 2 π 4 13   k   d t = 4 13   k t 0 2 π = 8 13 π k

Resposta

I x = 4 13 π k ( 1 + 6 π 2 )

I y = 4 13 π k ( 1 + 6 π 2 )

I z = 8 13 π k

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