Área Determine a área delimitada pela elipse

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1 .

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é y x :

y 2 b 2 = 1 - x 2 a 2

y 2 = b 2 a 2 - x 2 a 2

y = b 2 a 2 - x 2 a 2

y = b a a 2 - x 2

Como o exercício pede a área que é definida pela elipse, ele quer que a gente calcule:

A = 4 ∫ 0 a b a a 2 - x 2 d x

Passo 2

Vamos agora fazer uma mudança de variável trigonométrica:

x = a sin ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d x = a cos ⁡ θ d θ

Transformando os limites superior e inferior:

x = 0 → θ = arcsin ⁡ 0 / a = 0

x = a → θ = arcsin ⁡ a / a = π 2

Colocando na integral:

A = 4 ∫ 0 a b a a 2 - x 2 d x = 4 b a ∫ 0 π 2 a 2 - a sin ⁡ θ 2 a cos ⁡ θ d θ

A = 4 b ∫ 0 π / 2 a 2 - a 2 sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 4 b ∫ 0 π / 2 a 2 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Lembrando das relações trigonométricas:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Substituindo na equação:

A = 4 b ∫ 0 π / 2 a 2 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 4 b ∫ 0 π / 2 a 2 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 4 a b ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Relembrando das relações trigonométricas:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Assim,

A = 4 a b ∫ 0 π / 2 cos 2 ⁡ θ d θ = 4 a b ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Separando em duas integrais:

A = 2 a b ∫ 0 π 2 d θ + 2 a b ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 4

Calculando a integral:

A = 2 a b ∫ 0 π 2 d θ + 2 a b ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ d θ = 2 a b θ 0 π 2 + 2 a b sin ⁡ 2 θ 2 θ ' 0 π 2 = 2 a b θ 0 π 2 + 2 a b sin ⁡ 2 θ 0 π 2

A = 2 a b π 2 - 0 + a b 2 sin ⁡ 2 ∙ π 2 - sin ⁡ 2 ∙ 0 = π a b + a b 2 sin ⁡ π - sin ⁡ 0 = π a b

Pronto!!!

Resposta

π a b

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