Calcule a integral indefinida:

∫ sen ⁡ x + x 2 1 + x 2 d x

Passo 1

Primeiro vamos separar a integral em duas:

∫ sen ⁡ x + x 2 1 + x 2 d x = ∫ sen ⁡ x d x + ∫ x 2 1 + x 2 d x

Para resolver a primeira vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

Passo 2

Para resolver a segunda integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 + a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = tg ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ x 2 1 + x 2 d x = ∫ tg 2 ⁡ θ 1 + tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ tg 2 ⁡ θ 1 + tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ tg 2 ⁡ θ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tg 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ d θ =

= ∫ sec 3 ⁡ θ d θ + ∫ - sec ⁡ θ d θ = ∫ sec 3 ⁡ θ d θ - ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Para calcular a primeira integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

∫ sec n ⁡ u d u = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

Aplicando vamos ter:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 3 - 1 sec 3 - 2 ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 - 2 3 - 1 ∫ sec 3 - 2 ⁡ θ d θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 4

Com a segunda é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Agora vamos juntar tudo:

∫ sen ⁡ x + x 2 1 + x 2 d x = ∫ sen ⁡ x d x + ∫ x 2 1 + x 2 d x =

= - cos ⁡ x + ∫ sec 3 ⁡ θ d θ - ∫ sec ⁡ θ d θ =

= - cos ⁡ x + 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ - ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C =

= - cos ⁡ x + 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ - ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C =

= - cos ⁡ x + 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = tg ⁡ θ , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sec ⁡ θ e tg ⁡ θ :

Assim os valores de cos ⁡ θ e sec ⁡ θ são:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 1 1 + x 2 = 1 + x 2

Pronto, ficamos então com:

∫ sen ⁡ x + x 2 1 + x 2 d x = - cos ⁡ x + 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C =

= = - cos ⁡ x + 1 2 ⋅ 1 + x 2 ⋅ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + x + C =

= = - cos ⁡ x + x 2 1 + x 2 - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + x + C

Resposta

∫ sen ⁡ x + x 2 1 + x 2 d x = - cos ⁡ x + x 2 1 + x 2 - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + x + C

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