Enunciado

a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valor

inicial

y ″   +   2 y '   +   2 y   =   f   ( t ) ;   y ( 0 )   = 0 ,   y '   ( 0 )   =   0

É

y = ∫ 0 t e - t - τ f τ s e n t - τ d τ

(b) Mostre que, se   f ( t )   =   δ ( t   –   π ) , então a solução do item (a) se reduz a

y   =   u π t e –   ( t –   π )   s e n ( t   –   π ) .

(c) Use uma transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado com f ( t )

=   δ ( t   –   π ) e confirme que a solução coincide com a encontrada no item (b).

Passo 1

a) Para determinarmos o problema do valor inicial, vamos iniciar com a equação homogenia:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0

Temos que a equação característica é:

r 2 + 2 r + 2 = 0

Que possui as respectivas raízes características:

r 1,2 = - 1 ± i

Passo 2

Portanto, a função y 1 t = e - t cos ⁡ t e y 2 = t = e - t s e n   t na forma fundamental da solução da nossa equação homogenia. Pelo teorema 3.6.1, se a função f for contínua, a solução geral da equação diferencial fica:

y t = c 1 y 1 t + c 2 y 2 t + Y t

Onde Y t é a solução particular do equação inicial:

Y t = - y 1 t ∫ t 0 t y 2 s g s W y 1 , y 2 s d s + y 2 t ∫ t 0 t y 2 s g s W y 1 , y 2 s d s

Precisamos determinar nosso Workisiano:

W y 1 , y 2 s = y 1 s y 2 s y 1 ' s y 2 ' s = e - s cos ⁡ s e - s s e n   s - e - s cos ⁡ s - e - s s e n   s - e - s s e n   s + e - s cos ⁡ s

W y 1 , y 2 s = e - s cos ⁡ s - e - s s e n   s + e - s cos ⁡ s - e - s s e n   s - e - s cos ⁡ s - e - s s e n   s

W y 1 , y 2 s = e - 2 s cos 2 ⁡ s + s e n 2   s

W y 1 , y 2 s = e - 2 s

Passo 3

Agora que calculamos nosso workisiano, podemos calcular a solução particular:

Y t = - e - t cos ⁡ t ∫ t 0 t e - s s e n s f s e - 2 s d s + e - t s e n t ∫ t 0 t e - s cos ⁡ s f s e - 2 s d s

= e - t ∫ t 0 t e s - cos ⁡ t s e n s + s e n t cos ⁡ s f s d s

= ∫ t 0 t e - t - s - 1 2 s e n t + s - s e n t - s + 1 2 s e n t + s + s e n t - s f s d s

Y ( t ) = ∫ t 0 t e - t - s s e n t - s   f s d s

Passo 4

Agora substituindo a solução particular agora, na equação da solução geral, temos:

y t = c 1 e - t cos ⁡ t + c 2 e - t s e n   t + ∫ t 0 t e - t - s s e n t - s   f s d s

Primeira derivada da formula de Newton-Leibniz, temos:

y ' t = - c 1 e - t cos ⁡ t - - c 1 e - t s e n   t - c 2 e - t s e n   t + c 2 e - t cos ⁡ t + e - t - t s e n t - t f t

= - c 1 e - t cos ⁡ t - c 1 e - t s e n   t - c 2 e - t s e n t + c 2 e - t cos ⁡ t

Agora aplicando as condições iniciais temos que:

0 = y 0 = c 1 + 0 + ∫ 0 0 e - t - s s e n t - s f s d s = c 1

0 = y ' 0 = 0 - 0 - 0 + c 2 = c 2

Portanto, temos a solução geral como:

y t = ∫ t 0 t e - t - s s e n t - s   f s d s

Resposta

y t = ∫ t 0 t e - t - s s e n t - s   f s d s

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