a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valor

inicial

A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. y'' + 2y' + 2y = f(t); y(0) = 0, y'(0) = 0

É

y = ∫ 0 t e - t - τ f τ s e n t - τ d τ

(b) Mostre que, sef(t) = delta(t - pi) , então a solução do item (a) se reduz a

y = u_pi(t) \* e^(-(t - pi)) \* sen(t - pi)

A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. (c) Use uma transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado com f(t)

δ(t - pi) e confirme que a solução coincide com a encontrada no item (b).

Passo 1

c)Vamos aplicar a transformada de Laplace a nossa equação diferencial homogenia:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0

Aplicando:

L y ' ' + 2 y ' + 2 y = L y ' ' + L 2 y ' + L 2 y

= s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 2 s Y s - 2 y 0 + 2 Y s

= s 2 Y s + 2 s Y s + 2 Y s

= s 2 + 2 s + 2 Y s

Temos o lado esquerdo de nossa equação final, vamos agora calcular o lado direito.

Passo 2

Trabalhando com o lado direito da equação, aplicando a transformada de Laplace em f ( t ) , temos:

L f t = f s

L δ t - π = e - π s

Passo 3

Igualando as duas equações temos:

s 2 + 2 s + 2 Y s = e - π s

Y s = e - π s s 2 + 2 s + 2 = e - π s s + 1 2 + 1

Aplicando a transformada inversa em Y s , usando a linearidade e os itens 9 e 13 da tabela 6.2.1, temos:

y = u π t e - t - π s e n ( t - π )

Bem conquistamos a mesma resposta do item (b).

Resposta

y = u π t e - t - π s e n ( t - π )

Bem conquistamos a mesma resposta do item (b).

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