Enunciado

a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valor

inicial

y ″   +   2 y '   +   2 y   =   f   ( t ) ;   y ( 0 )   = 0 ,   y '   ( 0 )   =   0

É

y = ∫ 0 t e - t - τ f τ s e n t - τ d τ

(b) Mostre que, se   f ( t )   =   δ ( t   –   π ) , então a solução do item (a) se reduz a

y   =   u π t e –   ( t –   π )   s e n ( t   –   π ) .

(c) Use uma transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado com f ( t )

=   δ ( t   –   π ) e confirme que a solução coincide com a encontrada no item (b).

Passo 1

c)Vamos aplicar a transformada de Laplace a nossa equação diferencial homogenia:

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0

Aplicando:

L y ' ' + 2 y ' + 2 y = L y ' ' + L 2 y ' + L 2 y

= s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 2 s Y s - 2 y 0 + 2 Y s

= s 2 Y s + 2 s Y s + 2 Y s

= s 2 + 2 s + 2 Y s

Temos o lado esquerdo de nossa equação final, vamos agora calcular o lado direito.

Passo 2

Trabalhando com o lado direito da equação, aplicando a transformada de Laplace em f ( t ) , temos:

L f t = f s

L δ t - π = e - π s

Passo 3

Igualando as duas equações temos:

s 2 + 2 s + 2 Y s = e - π s

Y s = e - π s s 2 + 2 s + 2 = e - π s s + 1 2 + 1

Aplicando a transformada inversa em Y s , usando a linearidade e os itens 9 e 13 da tabela 6.2.1, temos:

y = u π t e - t - π s e n ( t - π )

Bem conquistamos a mesma resposta do item (b).

Resposta

y = u π t e - t - π s e n ( t - π )

Bem conquistamos a mesma resposta do item (b).

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Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.12. y ' ' + 3 y ' + 2 y = 0 ; y 0 = 1 ; y ' 0 = 0
Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.14. y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0 ; y 0 = 1 ; y ' 0 = 1
Em cada um dos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.15. y ' ' - 2 y ' + 4 y = 0 ; y 0 = 2 ,y ' 0 = 0
Use o resultado d d t e t = e t e ( 1 ) desta seção para calcular L e t
Nos problemas 3 e 4, suponha que uma função y ( t ) tenha a propriedade y 0 = 1 e y ' 0 = - 1 . Encontre a transformada de Laplace da expressão dada y ' ' + 3 y '