Avalie a integral.

∫ 1 4 t ln ⁡ t d t

Passo 1

Esse problema é daqueles que precisamos ter calma e atenção! Só precisamos nos lembrar de três coisas: formulação da integral por partes, integrais e derivadas!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = ln ⁡ t                     ;                 d u = 1 t d t

d v = t   d t                     ;                       v = 2 t t 3

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 1 4 t ln ⁡ t d t = 2 3 t t ln ⁡ t 1 4 - ∫ 1 4 2 t t 3 × 1 t d t

Organizando:

∫ 1 4 t ln ⁡ t d t = 2 3 t t ln ⁡ t 1 4 - ∫ 1 4 2 t t 3 × 1 t d t

Eliminando os t semelhantes na segunda integral:

∫ 1 4 t ln ⁡ t d t = 2 3 t t ln ⁡ t 1 4 - 2 3 ∫ 1 4 t d t

Resolvendo:

∫ 1 4 t ln ⁡ t d t = 2 3 t t ln ⁡ t 1 4 - 2 3 2 t t 3 1 4

Agora é só substituirmos os intervalos!!

∫ 1 4 t ln ⁡ t d t = 2 3 × 4 4 × ln ⁡ 4 - 2 3 1 × ln ⁡ 1 - 2 3 [ 2 × 4 4 3 - 2 1 3 ]

∫ 1 4 t ln ⁡ t d t = 2 × 8 × ln ⁡ | 4 | 3 - 0 - 2 3 [ 2 × 4 4 3 - 2 1 3 ]

∫ 1 4 t ln ⁡ t d t = 16 × ln ⁡ | 4 | 3 - 2 3 [ 14 3 ]

∫ 1 4 t ln ⁡ t d t = 16 × ln ⁡ | 4 | 3 - 28 9

Prontinho!!

Resposta

∫ 1 4 t ln ⁡ t d t = 16 × ln ⁡ | 4 | 3 - 28 9

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