Avalie a integral.

∫ 0 1 x 5 x d x

Passo 1

Esse problema é bem tranquiloo! Só precisamos nos lembrar de três coisas: formulação da integral por partes, integrais e derivadas!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = x                     ;                 d u = d x

d v = 5 x   d x                   ;                       v = 5 x ln ⁡ 5

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 0 1 x 5 x d x = x 5 x ln ⁡ 5   0 1 - ∫ 0 1 5 x ln ⁡ 5 d x

Organizando, vamos colocar o termo constante da segunda integral para fora:

∫ 0 1 x 5 x d x = x 5 x ln ⁡ 5   0 1 - 1 ln ⁡ 5 ∫ 0 1 5 x d x

Já sabemos o calculo da segunda integral quando fizemos no passo 1. Então, resolvendo isso:

∫ 0 1 x 5 x d x = x 5 x ln ⁡ 5   0 1 - 1 ln ⁡ 5 5 x ln ⁡ 5   0 1

Agora é só substituirmos os intervalos!!

∫ 0 1 x 5 x d x = 1 × 5 1 ln ⁡ 5 - 0 × 5 0 ln ⁡ 5 - 1 ln ⁡ 5 5 1 ln ⁡ 5 - 5 0 ln ⁡ 5

∫ 0 1 x 5 x d x = 5 ln ⁡ 5 - 0 - 1 ln ⁡ 5 5 ln ⁡ 5 - 1 ln ⁡ 5

∫ 0 1 x 5 x d x = 5 ln ⁡ 5 - 1 ln ⁡ 5 4 ln ⁡ 5

Logo, o nosso resultado será:

∫ 0 1 x 5 x d x = 5 ln ⁡ 5 - 4 ln ⁡ 5 2

Prontinho!!

Resposta

∫ 0 1 x 5 x d x = 5 ln ⁡ 5 - 4 ln ⁡ 5 2

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