Avalie a integral.

∫ t 3 e t d t

Passo 1

Esse problema é daqueles que precisamos ter calma e atenção! Só precisamos nos lembrar de três coisas: formulação da integral por partes, integrais e derivadas!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = t 3                     ;                 d u = 3 t 2 d t

d v = e t d t                     ;                       v = e t

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ t 3 e t d t = t 3 × e t - ∫ e t × 3 t 2   d t

Resolvendo:

∫ t 3 e t d t = t 3 × e t - 3 ∫ e t × t 2   d t

Passo 3

Precisamos integrar por partes a segunda integral, então fazendo:

u = t 2                     ;                 d u = 2 t   d t

d v = e t d t                     ;                       v = e t

Substituindo:

∫ e t × 3 t 2   d t = t 2   e t - ∫ e t 2 t d t

∫ e t × 3 t 2   d t = t 2   e t - 2 ∫ e t t d t

Passo 4

Ainda não temos a integral, fazemos a terceira integral por partes, onde

u = t                     ;                 d u = d t

d v = e t d t                     ;                       v = e t

Substituindo, novamente

∫ e t × 3 t 2   d t = t   e t - ∫ e t d t

∫ e t × 3 t 2   d t = t   e t - e t + C

Pronto! Agora precisamos volta para a primeira integral. Substituindo a terceira na segunda temos:

∫ e t × 3 t 2   d t = t 2   e t - 2 t   e t - e t + C

∫ e t × 3 t 2   d t = t 2   e t - 2 t   e t + 2 e t + C

Essa é a segunda! Agora voltamos ao inicio substituindo ela na primeira:

∫ t 3 e t d t = t 3 × e t - 3 t 2   e t - 2 t   e t + 2 e t + C

Resolvendo ela...

∫ t 3 e t d t = t 3 e t - 3 t 2   e t + 6 t   e t - 6 e t + C

Prontinho!!

Resposta

∫ t 3 e t d t = t 3 e t - 3 t 2   e t + 6 t   e t - 6 e t + C

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