Enunciado

Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.

∫ 2 - x 2   d x

Passo 1

A integral que ele nos pede para calcular é a seguinte:

I = ∫ 2 - x 2   d x

Logo,

I = ∫ 4 - 4 x + x   d x

Separando os termos, temos:

I = ∫ 4   d x - ∫ 4   x d x + ∫ x   d x

E podemos reescrever da seguinte forma:

I = ∫ 4   d x - ∫ 4   x 1 / 2 d x + ∫ x   d x

Nesse caso, temos que lembrar do seguinte:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + k

Quando   n   ≠ - 1

Passo 2

Então nossa integral fica:

I = 4 ⋅ x + C 1 - 4 ⋅ x 1 2 + 1 1 2 + 1 + C 2   + x 1 + 1 1 + 1 + C 3

Cuidado para não esquecer a constante em! Arrumando as coisas, temos:

I = 4 x - 4 ⋅ x 3 2 3 2 + x 2 2 + ( 4 C 1 - 4 C 2 + C 3 )

Simplificando e juntando as constantes:

I = 4 x - 8 x 3 2 3 + x 2 2 + C

Resposta

4 x - 8 x 3 2 3 + x 2 2 + C

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