Avalie a integral.

∫ x 2 ln ⁡ ( 1 + x ) d x

Passo 1

Vamos resolver esse probleminha. Mas qual método usaremos? Então temos duas funções nessa integral sendo multiplicadas, por isso não podemos aplicar uma “integral pronta”, por isso que a gente usa a integral por partes!!

Para o valor de u , vamos ter

u = ln ⁡ 1 + x  

Assim, temos o nosso d u :

  d u = 1 ( 1 + x ) d x

O nosso d v é:

d v = x 2 d x

v = x 3 3

Já dá pra gente resolver, é só calcular na integral!

Passo 2

Resolvendo...

A fórmula da integral por partes é:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Portanto:

∫ x 2 ln ⁡ ( 1 + x ) d x = ln ⁡ 1 + x × x 3 3 - ∫ x 3 3 × 1 ( 1 + x ) d x

Calculando...

= ln ⁡ 1 + x × x 3 3 - 1 3 ∫ x 3 ( 1 + x ) d x

Analogamente, temos:

= ln ⁡ 1 + x × x 3 3 - 1 3 ∫ x 2 - x + 1 - 1 ( 1 + x ) d x

Agora, resolvendo a integral:

= ln ⁡ 1 + x × x 3 3 - x 3 9 + x 2 6 - x 3 + 1 3 ln ⁡ 1 + x + C

Prontinho!!

Resposta

∫ x 2 ln ⁡ ( 1 + x ) d x = ln ⁡ 1 + x × x 3 3 - x 3 9 + x 2 6 - x 3 + 1 3 ln ⁡ 1 + x + C

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