Avalie a integral:

∫ x x 4 + 4 x 2 + 3   d x

Passo 1

Vamos decompor essa função em frações parciais:

x x 4 + 4 x 2 + 3 = x ( x 2 + 3 ) ( x 2 + 1 )

Como os dois fatores no denominador são de segundo grau, os numeradores serão funções do primeiro grau:

x x 2 + 3 ( x 2 + 1 ) = A x + B ( x 2 + 3 ) + C x + D ( x 2 + 1 )

Passo 2

Agora vamos multiplicar os dois lados por ( x 2 + 3 ) ( x 2 + 1 ) , então:

x = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 + 3

x = A x 3 + B x 2 + A x + B + C x 3 + D x 2 + 3 C x + 3 D

Vamos agrupar os coeficientes de potências iguais:

x = A + C x 3 + B + D x 2 + A + 3 C x + B + 3 D

E o termo do lado esquerdo só tem a primeira potência de x , então:

A + C = 0 B + D = 0 B + 3 D = 0 A + 3 C = 1

Resolvendo esse sistema, encontramos:

A = - 1 2 ,             B = 0 ,             C = 1 2 ,           D = 0

Passo 3

Agora vamos integrar essas frações parciais:

I = ∫ x x 4 + 4 x 2 + 3   d x = ∫ - 1 2 x x 2 + 3 + 1 2 x ( x 2 + 1 )   d x

E então vamos resolver cada um desses termos separadamente:

I = ∫ - 1 2 x x 2 + 3   d x + ∫ 1 2 x ( x 2 + 1 )   d x

I = - 1 4 ln ⁡ x 2 + 3 + 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 + C

Resposta

A integral é - 1 4 ln ⁡ x 2 + 3 + 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 + C .

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