Enunciado

Ache as aproximações T n , M n e S n para n = 6 e 12 . Então calcule os erros correspondentes E T , E M e E S . (Arredonde seus resultados para seis casas decimais. Você pode usar o comando soma em um sistema algébrico computacional.) Quais observações você pode fazer? Em particular, o que acontece aos erros quando n é dobrado?

∫ - 1 2 x e x   d x

Passo 1

Vamos começar calculando a integral normalmente:

∫ - 1 2 x e x   d x = x e x - e x 2 - 1

∫ - 1 2 x e x   d x ≅ 8,124815

E agora vamos usar as fórmulas para cada uma das aproximações no nosso intervalo de comprimento 3 .

Vamos representar essa função por f ( x ) :

f x = x e x

Passo 2

Primeiro vamos usar n = 6 , nesse caso, cada um dos intervalos será:

Δ x = 3 n = 3 6 = 1 2

Na aproximação pelo ponto médio, começamos em - 1 + Δ x 2 = - 3 / 4 , e vamos somando Δ x :

M 6 = 1 2 f - 0,75 + f - 0,25 + … + f ( 1,75 ) ≅ 8,583514

Na aproximação trapezoidal, colocamos pesos nos termos do meio, e dividimos tudo por dois. Em seguida vamos desde o início até o fim do intervalo em passos de Δ x :

T 6 = 1 ( 2 ) ( 2 ) f - 1 + 2 f - 0,5 + … + 2 f 1,5 + f ( 2 ) = 8,583514

E paa o método de Simpson, S 6 , colocamos pesos alternados de 4 e 2 , seguindo uma ordem como essa:

S 6 = 1 ( 2 ) ( 3 ) f - 1 + 4 f - 0,25 + 2 f 0 + … + 4 f 1,5 + f ( 2 ) ≅ 8,136885

E então os erros:

E T = 8,124815 - 8,583514 = - 0,458699

E M = 8,124815 - 7,896632 = 0,228183

E S = 8,124815 - 8,136885 ≅ - 0,012070

Passo 3

Agora vamos fazer praticamente a mesma coisa para n = 12 . Como o enunciado diz que podemos usar um computador, vamos apenas deixar as fórmulas indicadas aqui:

n = 12         ⇒           Δ x = 3 12 = 1 4

M 12 = 1 2 f - 7 8 + f - 5 8 + … + f 13 8 + f 15 8 ≅ 8,067259

T 12 = 1 ( 4 ) ( 2 ) 1 + 2 5 / 4 + 2 6 / 4 + … + 4 = 8,240073

S 12 = 1 ( 2 ) ( 3 ) f - 1 + 2 f - 0,75 + f - 0,5 + … + f 1,75 + f ( 2 ) ≅ 8,125593

E então os erros são:

E T = - 0,115258

E M = 0,057556

E S = - 0,000778

Passo 4

Que observações podemos fazer sobre os erros?

Em primeiro lugar, os erros E T e E M tem sinais opostos, e diminuem por um fator 4 quando n dobra..

O erro da regra de Simpson é muito menor que o das outroas, e cai por um fator próximo de 16 quando n dobra.

Resposta

Valores podem ser calculados computacionalmente. Os erros da régua trapezoidal e do ponto médio caem por um fator 4 quando n dobra, e o erro da regra de Simpson cai por um fator 16 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use (a) a Regra do Ponto Médio e (b) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor de n especificado. (Arredonde seu resultado para seis casas decimais). Compare seu resultado com o va
Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.) ∫ 0
Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.) ∫ 0
As aproximações pela extremidade esquerda, extremidade direita, Trapézio e Ponto Médio foram usadas para estimar ∫ 0 2 f x d x , onde f é uma função cujo gráfico é mostrado. As estimativas foram 0,781
Seja I = ∫ 0 4 f x d x , em que f é a função cujo gráfico é mostrado.Use o gráfico para encontrar L 2 , R 2 e M 2 .Estas são estimativas por baixou ou por cima de I ?Use o gráfico para achar T 2 . Com