Avalie a integral:

∫ 2 4 x + 2 x 2 + 3 x - 4   d x

Passo 1

Como temos uma razão de dois polinômios, vamos tentar decompor a expressão em frações parciais.

Começamos encontrando as raízes do polinômio de segundo grau no denominador:

- 3 ± 3 2 - 4 1 - 4 2 1 = - 3 ± 5 2

As raízes são 1 e - 4 , e podemos escrever o polinômio da seguinte forma:

x 2 + 3 x - 4 = x - 1 x + 4

Então a integral indefinida fica da seguinte forma:

∫ x + 2 x - 1 x + 4   d x

Passo 2

Ok, agora vamos decompôr em frações parciais:

x + 2 x - 1 x + 4 = A x - 1 + B x + 4

E para encontrar A e B , vamos multiplicar a equação tudo por x - 1 x + 4 :

x + 2 = A x + 4 + B x - 1

x + 2 = A + B x + 4 A - B

E então ficamos com um sistema:

A + B = 1 4 A - B = 2

Somando as duas equações, temos o seguinte:

5 A = 3         ⇒         A = 3 / 5

E substituindo esse resultado na primeira equação, temos:

B = 2 / 5

Então nossa decomposição fica assim:

x + 2 x - 1 x + 4 = 3 / 5 x - 1 + 2 / 5 x + 4

Passo 3

Agora podemos começar a integrar!

∫ 3 / 5 x - 1   d x = 3 5 ln ⁡ x - 1 + C

∫ 2 / 5 x + 4   d x = 2 5 ln ⁡ x + 4 + C

E então:

∫ x + 2 x - 1 x + 4   d x = 3 5 ln ⁡ x - 1 + 2 5 ln ⁡ x + 4 + C

Agora precisamos avaliar isso quando x varia de x = 2 até x = 4 . Para x = 4 temos:

3 5 ln ⁡ 3 + 2 5 ln ⁡ 8

E para x = 2 (sabendo que ln ⁡ ( 1 ) = 0 ):

3 5 ln ⁡ 1 + 2 5 ln ⁡ 6 = 2 5 ln ⁡ 6

Então a integral é:

I = 3 5 ln ⁡ 3 + 2 5 ln ⁡ 8 - 2 5 ln ⁡ 6

Passo 4

Vamos usar algumas propriedades do logaritmo para simplificar isso! Começamos substituindo ln ⁡ ( 6 ) e l n ⁡ ( 8 ) :

ln ⁡ ( 6 ) = ln ⁡ ( 2 ) ( 3 ) = ln ⁡ ( 2 ) + ln ⁡ ( 3 )

ln ⁡ 8 = ln ⁡ 2 3 = 3 ln ⁡ 2

Então:

I = 3 5 ln ⁡ 3 + 2 5 ln ⁡ 8 - 2 5 ln ⁡ 6

I = 3 5 ln ⁡ 3 + 6 5 ln ⁡ 2 - 2 5 ln ⁡ 2 - 2 5 ln ⁡ 3

Então ficamos com:

I = 1 5 ln ⁡ ( 3 ) + 4 5 ln ⁡ ( 2 )

Resposta

A integral vale 1 5 ln ⁡ ( 3 ) + 4 5 ln ⁡ ( 2 ) .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados