Enunciado

Avalie a integral:

int (1 + tan x)^2 sec ( x ) d x

Passo 1

Vamos tentar simplificar a expressão da integral, lembrando que:

tan ( x ) = (sen (x))/(cos (x)) & sec ( x ) = (1)/(cos (x))

Então:

(1 + tan x)^2 sec ( x ) = (1 + (sen (x))/(cos (x)))^2 (1)/(cos (x))

E reorganizando a soma de frações dentro do parênteses, ficamos com:

((sen ( x ) + cos ( x ))/(cos ( x )))^2 (1)/(cos (x)) = ((sen x + cos x)^2)/(cos^3 x)

E agora vamos “abrir” esse parênteses elevado ao quadrado, que vai dar no seguinte:

(sen^2 x)/(cos^3 x) + (2 sen x)/(cos^2 x) + (1)/(cos x)

Então a nossa integral pode ser escrita assim:

int (1 + tan x)^2 sec ( x ) d x = int (sen^2 x)/(cos^3 x) d x + int (2 sen x)/(cos^2 x) d x + int (1)/(cos x) d x

I = I_1 + I_2 + I_3

Vamos resolver cada uma delas separadamente.

Passo 2

Vamos começar pela integral I_1 :

I_1 = int (sen^2 x)/(cos^3 x) d x

Para deixar tudo em termos de uma única função, vamos reescrever esse sen^2 x como:

sen^2 x = 1 - cos^2 x

I_1 = int (1 - cos^2 x)/(cos^3 x) d x = int (1)/(cos^3 x) d x - int (1)/(cos x) d x

I_1 = int sec^3 x d x - int sec x d x

Continua bastente complicado, mas já dá pra resolver as duas integrais. Começando pela mais simples:

int sec x = ln |sec x + tan x| + C

E a outra integral vai dar bem mais trabalho.

Passo 3

Ainda estamos na integral I_1 , mas para terminar de resolvê-la precisamos fazer o seguinte:

int sec^3 x d x = int sec^2 x sec x d x

Vamos tentar uma integral por partes, com as seguintes substituições:

int u d v = u v - int v d u

{[[u = sec x],[d v = sec^2 x d x]] => {[[d u = sec x tan x d x],[v = tan x]]))

Então:

int sec^3 x d x = sec x tan x - int sec x tan^2 x d x

Vamos reescrever a tan^2 x como:

tan^2 x = sec^2 x - 1

int sec^3 x d x = sec x tan x - int sec x (sec^2 x - 1) d x

Então:

int sec^3 x d x = sec x tan x - int sec^3 x d x + int sec x d x

Agora podemos somar int sec^3 x dos dois lados:

2 int sec^3 x d x = sec x tan x + int sec x d x

E resolver a integral do lado direito:

2 int sec^3 x d x = sec x tan x + ln |sec x + tan x| + C

int sec^3 x = (1)/(2) (sec x tan x + ln |sec x + tan x| + C)

Beleza, agora sim podemos finalizar a nossa integral I_1 :

I_1 = int sec^3 x d x - ln |sec x + tan x| + C

I_1 = (1)/(2) (sec x tan x + ln |sec x + tan x|) - ln |sec x + tan x| + C

I_1 = (1)/(2) sec x tan x - (1)/(2) ln |sec x + tan x| + C

Passo 4

Ok, agora vamos passar para a integral I_2 :

I_2 = int (2 sen x)/(cos^2 x) d x

Vamos reescrever essa expressão usando as definições de sec ( x ) e tan ( x ) :

I_2 = int 2 sec x tan x d x

E essa é uma integral conhecida, então:

I_2 = 2 sec ( x ) + C

Passo 5

E por último vamos ver a integral I_3 :

I_3 = int (1)/(cos x) d x = int sec (x) d x

I_3 = ln |sec (x) + tan (x)| + C

Agora vamos juntar tudo:

I = I_1 + I_2 + I_3

I = (1)/(2) sec x tan x - (1)/(2) ln |sec x + tan x| + 2 sec (x) + ln |sec (x) + tan (x)| + C

I = (1)/(2) sec x tan x + (1)/(2) ln |sec x + tan x| + 2 sec x + C

Resposta

A integral vale (1)/(2) sec x tan x + (1)/(2) ln |sec x + tan x| + 2 sec x + C .

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