Avalie a integral:

∫ 1 + sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x   d x

Passo 1

Quando você estiver lidando com uma integral trigonométrica que não consegue resolver de jeito nenhum, lembre da subtituição da tangente do arco metade:

t = tan ⁡ x 2

E para usar essa substituição, você precisa lembrar de algumas fórmulas que acompanham ela:

sen ⁡ ( x ) = 2 t 1 + t 2           &         cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2

d x = 2 1 + t 2   d t

Essas fórmulas são um pouco chatas de demonstrar, então o ideal é ter elas decoradas para quando precisar dessa definição.

Passo 2

Agora vamos substituir essas fórmulas na nossa função:

1 + sen ⁡ ( x ) = 1 + 2 t 1 + t 2 = t 2 + 2 t + 1 1 + t 2 = t + 1 2 t 2 + 1

1 + cos ⁡ ( x ) = 1 + 1 - t 2 1 + t 2 = 2 t 2 + 1

Então:

1 + sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x = t + 1 2 t 2 + 1 2 t 2 + 1 = t + 1 2 2

Agora vamos substituir isso na integral, junto com a fórmula para d x :

I = ∫ 1 + sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x   d x

I = ∫ t + 1 2 2   2 t 2 + 1   d t

I = ∫ t 2 + 2 t + 1 t 2 + 1   d t

Passo 3

Agora vamos separar essa integral em duas partes:

I = ∫ t 2 + 1 t 2 + 1   d t + ∫ 2 t t 2 + 1   d t

I = ∫ d t + ∫ 2 t t 2 + 1   d t

E nós sabemos resolver as duas integrais. Só precisamos lembrar de substituir t = tan ⁡ x 2

∫ d t = t + C = tan ⁡ x 2 + C

∫ 2 t t 2 + 1   d t = ln ⁡ t 2 + 1 + C = ln ⁡ sec 2 ⁡ x 2 + C

E então a integral é:

I = tan ⁡ x 2 + ln ⁡ sec 2 ⁡ x 2 + C

E ainda dá pra simplificar um pouco mais:

ln ⁡ sec 2 ⁡ x 2 = ln ⁡ cos - 2 ⁡ x 2 = - 2 ln ⁡ cos ⁡ x 2

Então:

I = tan ⁡ x 2 - 2 ln ⁡ cos ⁡ x 2 + C

Resposta

A integral vale tan ⁡ x 2 - 2 ln ⁡ cos ⁡ x 2 + C .

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