Enunciado

Avalie a integral indefinida.

int y^2 (4 - y^3)^((2)/(3)) d y

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 4 - y^3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 - 3 y^2 d y -> d u = - 3 y^2 d y -> - (d u)/(3) = y^2 d y

Vamos agora fazer a substituição:

int y^2 (4 - y^3)^((2)/(3)) d y = int - (u^((2)/(3)))/(3) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

int c f (x) d x = c int f (x) d x

Agora é só aplicar:

int - (u^((2)/(3)))/(3) d u = - (1)/(3) int u^((2)/(3)) d u = - (1)/(3) * (u^((2)/(3) + 1))/((2)/(3) + 1) + C = - (1)/(3) * (u^((5)/(3)))/((5)/(3)) + C = - (1)/(3) * (3)/(5) * u^((5)/(3)) + C = - (u^((5)/(3)))/(5) + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável y , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int y^2 (4 - y^3)^((2)/(3)) d y = - (u^((5)/(3)))/(5) + C = - ((4 - y^3)^((5)/(3)))/(5) + C

Resposta

int y^2 (4 - y^3)^((2)/(3)) d y = - ((4 - y^3)^((5)/(3)))/(5) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Efetue a antidiferenciação int (x^3)/(( x^2 + 4 )^(3 // 2)) d x
Calcule ∫ 2 s e n x c o s xd x por três métodos: (c) usando a identidade 2 s e n x c o s x = s e n 2 x .
Calcule ∫ 2 s e n x c o s xd x por três métodos: (b) tomando u = c o sx .
Calcule ∫ 2 s e n x c o s xd x por três métodos: (d) explique a diferença entre as respostas de (a), (b) e (c).
Calcule int csc^2 x c o t g x d x por dois métodos: (b) tomando v = c s c x .