Avalie a integral indefinida.

∫ cos ⁡ π t 2 d t

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = π t 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = π 2 d t → 2 π d u = d t

Vamos agora fazer a substituição:

∫ cos ⁡ π t 2 d t = ∫ 2 π cos ⁡ u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ x   d x = sen ⁡ x + C

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Agora é só aplicar:

∫ 2 π cos ⁡ u d u = 2 π ∫ cos ⁡ u d u = 2 π sen ⁡ u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ cos ⁡ π t 2 d t = 2 π sen ⁡ u + C = 2 π sen ⁡ π t 2 + C

Resposta

∫ cos ⁡ π t 2 d t = 2 π sen ⁡ π t 2 + C

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