Enunciado

Avalie a integral indefinida como uma série infinita.

∫ x 3 + 1 d x

Passo 1

Vamos lá! Nosso primeiro passo é escrever qual é a série que representa o nosso integrando. Somente após isto é que poderemos integrar esta série em si.

Ao invés de escrevermos a série que representa a nossa função, vamos obter a série de Maclaurin que representa a função x + 1 . Depois, no lugar de x , colocaremos x 3 e assim obteremos a nossa série!

E a partir do momento que conseguirmos expressar a nossa função através de uma série, podemos integrar os termos, obtendo o resultado que desejamos!

Passo 2

Conforme descrito no passo anterior, vamos começar derivando a nossa função e depois aplicando o valor de x = 0 . Então, vamos as contas!

f x = x + 1 ⟹ f 0 = 1

f ' x = 1 2 x + 1 ⟹ f ' 0 = 1 2

f ' ' x = - 1 4 x + 1 3 2 ⟹ f ' ' 0 = - 1 4

f 3 x = 3 8 x + 1 5 / 2 ⟹ f 3 0 = 3 8

f 4 x = - 15 16 x + 1 5 2 ⟹ f 4 0 = - 15 16

Portanto, nossa série será

f x = x + 1 = 1 0 ! x 0 + 1 1 ! ⋅ 2 x 1 - 1 2 ! ⋅ 4 x 2 + 3 3 ! ⋅ 8 x 3 - 15 4 ! ⋅ 16 x 4 + …

f x = x + 1 = 1 + x 2 - x 2 8 + x 3 16 - 5 x 4 128 + …

f x = x + 1 = 1 + x 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 3 2 n ⋅ n ! x n

Substituindo o valor de x por x 3 , obtemos:

f x = x 3 + 1 = 1 + x 3 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 3 2 n ⋅ n ! x 3 n

E essa é a série que precisamos integrar!

Passo 3

Agora que conseguimos determinar a série da nossa função, podemos integra-la! Sendo assim,

∫ x 3 + 1 d x = ∫ 1 + x 3 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 3 2 n ⋅ n ! x 3 n d x

∫ x 3 + 1 d x = x + x 4 8 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 3 2 n ⋅ n ! ⋅ 3 n + 1 x 3 n + 1 + C

Podemos integrar a nossa série da mesma forma que fazíamos antes! E muito cuidado para não esquecerem da constante C, afinal, estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

∫ x 3 + 1 d x = x + x 4 8 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 3 2 n ⋅ n ! ⋅ 3 n + 1 x 3 n + 1 + C

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