Enunciado

Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.

15. sen ⁡ 3 x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Para encontrar a série de Maclaurin para f x = sen ⁡ ( 3 x ) ​, podemos encontrar as primeiras derivadas dela e tentar encontrar um padrão. O processo de diferenciação é mostrado abaixo:

f x = sen ⁡ ( 3 x ) → f 0 = sen ⁡ 0 = 0

f ' x = 3 cos ⁡ 3 x → f ' 0 = 3 cos ⁡ 0 = 3

f ' ' x = - 9 sen ⁡ 3 x → f ' ' 0 = - 9 sen ⁡ 0 = 0

f ' ' ' x = - 27 cos ⁡ 3 x → f ' ' ' 0 = - 27 cos ⁡ 0 = - 27

Seguindo essa lógica e padrão, temos o seguinte

f 2 n + 1 0 = 3 2 n + 1 ,     n   s e n d o   p a r - 3 2 n + 1 ,     n   s e n d o   í m p a r

Passo 2

Observe que a derivada só é diferente de zero sempre que a derivada for de ordem ímpar e alterna sinais, como nos problemas anteriores, então faremos o expoente de n a 2 n + 1 para contabilizar apenas as derivadas de ordem ímpar porque par -derivadas ordenadas são 0. Portanto, a série de Maclaurin para a função dada é (primeiros cinco termos diferentes de zero mostrados abaixo):

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 2 n + 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1 = 0 + 3 x + 0 - 3 3 x 3 3 ! + 0 + 3 5 x 5 5 ! + 0 - 3 7 x 7 7 ! + …

Portanto,

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 2 n + 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1 = 3 x - 3 3 x 3 3 ! + 3 5 x 5 5 ! - 3 7 x 7 7 ! + 3 9 x 9 9 ! + …

Resposta

f x = sen ⁡ 3 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 2 n + 1 2 n + 1 ! x 2 n + 1 = 3 x - 3 3 x 3 3 ! + 3 5 x 5 5 ! - 3 7 x 7 7 ! + 3 9 x 9 9 ! + …

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