Avalie a integral.

∫ sin 5 ⁡ ( 2 t ) cos 2 ⁡ ( 2 t ) d t

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos usar uma substituição:

2 t = v

d v 2 = d t

Substituindo:

∫ sin 5 ⁡ v cos 2 ⁡ v 1 2 d v  

Passo 2

Depois, precisamos separar a função seno. Fica assim:

∫ sin 5 ⁡ v cos 2 ⁡ v 1 2 d v = 1 2 ∫ ( sin 2 ⁡ v ) ² sin ⁡ v cos 2 ⁡ v d v

Agora, vamos lembrar da seguinte indentidade:

sin ² ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Substituindo na nossa integral:

1 2 ∫ ( 1 - cos 2 ⁡ v ) ² sin ⁡ v cos 2 ⁡ v d v

Passo 3

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

u = cos ⁡ v

d u = - sin ⁡ v d v

d v = d u - sin ⁡ v

Substituindo u e d u / d x , temos:

∫ 1 - u 2 ² sin ⁡ v u 2   - d u sin ⁡ v

∫ - 1 - u 2 ² u 2   d u  

∫ - u 2 + 2 u 4 - u 6   d u

Passo 4

Por fim, vamos integrar em u e depois substituir:

∫ - u 2 + 2 u 4 - u 6   d u

Pela regra da adição:

∫ - u 2   d u + ∫ 2 u 4   d u - ∫ u 6   d u

= - u 3 3 + 2 u 5 5 + u 7 7 + C

Substituindo u e depois v :

- 1 6 cos 3 ⁡ 2 t + 1 5 cos 5 ⁡ 2 t - 1 14 cos 7 ⁡ ( 2 t ) + C

Resposta

- 1 6 cos 3 ⁡ 2 t + 1 5 cos 5 ⁡ 2 t - 1 14 cos 7 ⁡ ( 2 t ) + C

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