Avalie a integral.

∫ cot ⁡ x cos ² ⁡ x d x

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos expressar a cotangente como:

∫ cot ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x sin ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Agora, vamos lembrar da seguinte indentidade:

cos ² ⁡ x = 1 - sin 2 ⁡ x

Substituindo na nossa integral:

∫ cos ⁡ x sin ⁡ x ( 1 - sin ² ⁡ x ) d x

Passo 2

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

u = sin ⁡ x

d x = d t cos ⁡ x

Substituindo u e d u / d x   , temos:

∫ 1 - u 2 u d u  

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u e depois substituir:

∫ 1 - u 2 u d u

Pela regra da adição:

= ∫ 1 u   d u - ∫ u   d u

Integrando:

ln ⁡ | u | - u 2 2

Substituindo u :

ln ⁡ | sin ⁡ x | - sin ² ⁡ x 2 + C

Resposta

ln ⁡ | sin ⁡ x | - sin ² ⁡ x 2 + C

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