Enunciado

  1. Avalie lim x → ∞ ⁡ x . s e n 1 x .
  2. Avalie lim x → 0 ⁡ x . s e n 1 x .
  3. Ilustre as partes (a) e (b) fazendo o gráfico de   y = x . s e n 1 x .

Passo 1

Olá, amigo, Yuri aqui e irei te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui nós temos essa função

x . s e n 1 x

E nos é pedido para que avaliemos o limite quando x   se aproxima do infinito, o que significa quando x   for extremamente grande. E também quando x se aproxima de 0, ou seja, quando for extremamente pequeno.

Para isso, iremos manipular a função até termos um limite conhecido.

Passo 2

Bom, queremos o limite desta função quando x   tende a infinito, e para isso vamos ter que manipular um pouquinho essa equação:

lim x → ∞ ⁡ x . s e n 1 x = lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 x x . s e n 1 x

Quando nós multiplicamos o numerador e o denominador pelo mesmo valor não altera em nada nossa função, certo?

Vamos reorganizar mais um pouquinho:

lim x → ∞ ⁡ 1 x x . s e n 1 x 1 x = lim x → ∞ ⁡ s e n 1 x 1 x

Vamos ter que manipular mais um pouco, porque nós sabemos do capítulo 2 do James Stewart:

lim x → 0 ⁡ s e n   ( x ) x = 1

Guarda essa carta na sua manga!

Então nossa variável tem que tender a zero. Para isso vamos chamar:

t = 1 x

Quando x → ∞   o t → 0 . Agora sim:

lim t → 0 ⁡ s e n t t = 1

Concluindo:

lim x → ∞ ⁡ x . s e n 1 x = 1

Passo 3

E quando o x   tende a zero? Iremos seguir a mesma linha de raciocínio:

lim x → 0 ⁡ x . s e n 1 x = lim x → 0 ⁡ s e n 1 x 1 x

Agora vamos fazer uma nova substituição:

t = 1 x

Quando x → 0 o t →   ∞ .   Então:

lim x → 0 ⁡ s e n 1 x 1 x = lim t → ∞ ⁡ s e n   t t

Para resolver esse limite, irei utilizar o teorema do confronto, poderíamos ter utilizado ele na letra anterior, mas acho importante aprender as diversas formas de se resolver um limite, isso pode ser util.

O teorema do confronto diz que: Se f x ≤ g x ≤ h x quando x está próximo a a (exceto possivelmente em a ) e

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ h x = L

Então lim x → a ⁡ g x = L . Vamos ver na prática pois é mais fácil de entender fazendo.

Para senos, nós temos um intervalo de existência:

- 1 ≤ sin ⁡ t ≤ 1

Agora vamos dividir todos por t, para encontrar a nossa função sin ⁡ t t :

- 1 t ≤ sin ⁡ t t ≤ 1 t

Agora calculando os limites:

lim t → ∞ ⁡ 1 t = lim t → ∞ ⁡ - 1 t = 0

Sendo assim, pelo teorema do confronto:

lim t → ∞ ⁡ sin ⁡ t t = 0

Passo 4

Para finalizar vamos desenhar o gráfico desta função utilizando o GeoGebra:

Repara que quando x é quase 0, a função também é quase 0, como encontramos no passo 3.

E quando x fica muito grande (e vai pro infinito), a função vai pra 1, como encontramos no passo 2.

Resposta

  1. lim x → ∞ ⁡ x . s e n 1 x = 1 ;
  2. lim x → 0 ⁡ x . s e n 1 x = 0 .
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Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = cos ⁡ x 2 - s e nx