Enunciado

Encontre a derivada dada, encontrando as primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.

49) d 99 d x 99 ( s e n   x )

Passo 1

Vamos calcular a derivada dada, meu caro amigo.

Mas aqui, a situação é diferente, a gente tem que calcular a derivada:

d 99 d x 99 ( s e n   x )

Sem derivar 99 vezes, devemos derivar algumas vezes, e procurar algum padrão na derivação.

Então é isso que iremos fazer.

Como a derivada do:

sin ⁡ x ' = cos ⁡ x

E derivada de:

cos ⁡ x ' = - sin ⁡ x

Então vamos atras desse padrão.

Passo 2

Bom, queremos a derivada de número 99 e para isso vamos avaliar o padrão que existe:

Derivando uma vez:

d d x s e n   x = cos ⁡ x

Duas vezes:

d 2 d x 2 s e n   x = - s e n   x

Três vezes:

d 3 d x 3 s e n   x = - cos ⁡ x

Quatro vezes:

d 4 d x 4 s e n   x = s e n   x

Vamos derivar mais uma vez:

d 5 d x 5 sin ⁡ x = cos ⁡ x

Depois da derivada quarta, o padrão de derivadas que aparecerão irá se repetir. Então podemos calcular quanto ciclos de repetição existem até 99 e assim encontrarmos qual a derivada nós queremos.

Então vamos ver quantos ciclos existem até a derivada 99:

99 = 4 × 24 + 3

Ou seja, vai haver 24 ciclos completos mais 3, terminando na derivada terceira:

d 99 d x 99 s e n   x = d 3 d x 3 s e n   x = - cos ⁡ x

Resposta

d 99 d x 99 s e n   x = - cos ⁡ x

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Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = sec x
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
(c) Use a Fórmula (4) para obter (6).
Faça uma conjectura sobre a derivada, calculando algumas delas e observando o padrão resultante. d 100 d x 100 cos ⁡ x
Faça uma conjectura sobre a derivada, calculando algumas delas e observando o padrão resultante. d 87 d x 87 s e nx