Enunciado

Seja f x = x 1 - cos ⁡ 2 x .

  1. Faça o gráfico de f. Que tipo de descontinuidade parece ocorrer em 0?
  2. Calcule os limites laterais de f em 0. Esses valores confirmam sua resposta para a parte?

Passo 1

Olá, amigo, Yuri aqui e irei estar te ajudando a resolver essa atividade de limite.

A questão nos pede para primeiro construir o gráfico da função dada, e por um spoiler do enunciado analisar qual a descontinuidade existe nesta função.

Existem alguns tipos de descontinuidade, são eles:

Descontinuidade removível: A função tem uma descontinuidade removível quando os valores calculados em f ( a ) e lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) são diferentes. Assim observamos que um ponto da função é “deslocado” ou deixa de existir

Descontinuidade de salto: Na descontinuidade de salto observamos que os limites laterais são diferentes, por isso dizemos que a função “deu um salto” em um determinado valor de x.

Descontinuidade essencial: As funções que possuem descontinuidade essencial são as que possuem assíntotas verticais, ou seja, aquelas nas quais obtemos ± ∞ ao calcularmos os limites laterais.

Passo 2

Letra a)

O gráfico da função é dado abaixo, ele foi construído utilizando o GeoGebra.

A descontinuidade está presente quando nos aproximamos a x = 0   , ali vemos que os valores da função são diferentes a depender por qual direção de x = 0   tomamos. Temos então uma descontinuidade de ‘salto’, pois temos um ‘salto’ no valor da função a depender de qual lado nos aproximemos.

Passo 3

Letra b)

Queremos os limites laterais, ou seja, quando x     tende a zero pela direita e pela esquerda.

Depois de calcularmos esses limites iremos analisar se o resultado faz jus ao gráfico que montamos na letra A.

Primeiro iremos modificar o termo 1 - cos ⁡ 2 x utilizando de transformações trigonométricas.

Sabendo que podemos reescrever:

cos ⁡ 2 x = 1 - 2 sin 2 ⁡ x

Ao retirar a raiz, precisamos colocar em modulo:

= x 2 sin 2 ⁡ x = x 2 sin ⁡ x

O limite pela esquerda em x = 0   :

lim x → 0 - ⁡ x 2 sin ⁡ x = lim x → 0 - ⁡ - x 2 sin ⁡ x

E por que é negativo? Pois

sin ⁡ x < 0   ,   x < 0

e por conta do modulo devemos colocar o sinal negativo.

Continuando nossos cálculos:

Tiramos primeiro a constante do limite, após isso utilizamos uma manipulação matemática para termos dentro do nosso limite o termo:

sin ⁡ x x

pois sabemos previamente que

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Então temos,

lim x → 0 - ⁡ x 2 sin ⁡ x = - 1 2 lim x → 0 - ⁡ 1 sin ⁡ x x

O limite da divisão é igual a divisão de limites:

lim x → 0 - ⁡ x 2 sin ⁡ x = - 1 2 ∙ lim x → 0 - ⁡ 1 lim x → 0 - ⁡ sin ⁡ x x

Finalmente calculando o limite:

lim x → 0 - ⁡ x 2 sin ⁡ x = - 1 2 ∙ 1 1 = - 1 2

Passo 4

Agora iremos trabalhar com o limite pela direita:

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ x

O sinal é positivo aqui pois sin ⁡ x > 0 ,   x > 0 , e não existe mais a necessidade de se colocar o sinal negativo.

Veja que aqui utilizamos das mesmas manipulações que utilizamos no limite pela esquerda.

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ x = 1 2 lim x → 0 + ⁡ 1 sin ⁡ x x

O limite da divisão é igual a divisão de limites:

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ x = 1 2 ∙ lim x → 0 + ⁡ 1 lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ x = 1 2 ∙ 1 1 = 1 2

Como os limites à esquerda e à direita são diferentes, há uma descontinuidade por salto em x   =   0 . Isso confirma a solução da parte (a).

Resposta

  1. Descontinuidade por salto
  2. lim x → 0 + ⁡ x 1 - cos ⁡ 2 x ≠ lim x → 0 - ⁡ x 1 - cos ⁡ 2 x
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