Enunciado

Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 5   k m e passa diretamente sobre um telescópio no chão. Quando o ângulo de elevação for π 3 , esse ângulo estará diminuindo a uma taxa de π 6 rad/min. Quão rapidamente estará o avião se movendo naquele instante?

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos um avião voando a uma altitude de 5   k m quando passa por cima de um telescópio. Se liga no esqueminha:

Vamos chamar o deslocamento horizontal do avião de x e o ângulo de inclinação do telescópio de θ .

Logo, a relação entre x e θ é dada por:

tg ⁡ θ = 5 x

Ou

ctg ⁡ θ = x 5

Passo 2

Agora, vamos derivar para correlacionar as taxas de variação:

- csc 2 ⁡ θ × θ ' t = x ' ( t ) 5

θ ' t = - x ' t × sen 2 ⁡ θ 5

Passo 3

Quando θ = π 3 e está variando a uma razão de θ ' t = - π 6 rad/min então:

- π 6 = - x ' t × sen 2 ⁡ π 3 5

- π 6 = - x ' t × sen 2 ⁡ π 3 5

5 π 6 = x ' t × 3 4

x ' t = 10 π 9

Portanto, a velocidade do avião é de 10 π 9 km/min.

Resposta

A velocidade do avião é de 10 π 9 km/min.

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