b) Encontre um vetor normal a esta superfície

Passo 1

Sabemos que um vetor normal a uma superfície parametrizada φ u ,   t é dado por:

n → = ∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ t

Assim, nosso objetivo nesse item será calcular esse produto vetorial!

Passo 2

No item anterior, vimos que uma possível parametrização para o hiperboloide é:

φ u , t = cos ⁡ u cosh ⁡ t , sin ⁡ u cosh ⁡ t , sinh ⁡ t

Então, temos que:

  1. ∂ φ ∂ u = cosh ⁡ t ∂ ∂ u cos ⁡ u , cosh ⁡ t ∂ ∂ u sin ⁡ u ,   0 ∂ φ ∂ u = - sin ⁡ u cosh ⁡ t   , cos ⁡ u cosh ⁡ t , 0

∂ φ ∂ t = cos ⁡ u ∂ ∂ t cosh ⁡ t   , sin ⁡ u ∂ ∂ t cosh ⁡ t , ∂ ∂ t sinh ⁡ t ∂ φ ∂ t = cos ⁡ u sinh ⁡ t , sin ⁡ u sinh ⁡ t , cosh ⁡ t

Observação: lembre-se que cosh ⁡ t = e t + e - t 2                     sinh ⁡ t = e t - e - t 2

Assim,

d d t cosh ⁡ t = e t - e - t 2 = sinh ⁡ t d d t sinh ⁡ t = e t + e - t 2 = cosh ⁡ t

Passo 3

Finalmente, temos:

∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ u = i j k - sin ⁡ u cosh ⁡ t cos ⁡ u cosh ⁡ t 0 cos ⁡ u sinh ⁡ t sin ⁡ u sinh ⁡ t cosh ⁡ t ∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ u = cos ⁡ u cosh 2 ⁡ t ; sin ⁡ u cosh 2 ⁡ t ;   - sin 2 ⁡ u cosh ⁡ t sinh ⁡ t - cos 2 ⁡ u sinh ⁡ t cosh ⁡ t ∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ u = cos ⁡ u cosh 2 ⁡ t ; sin ⁡ u cosh 2 ⁡ t ;   - cosh ⁡ t sinh ⁡ t

Resposta

Um vetor normal será cos ⁡ u cosh 2 ⁡ t ; sin ⁡ u cosh 2 ⁡ t ;   - cosh ⁡ t sinh ⁡ t .

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