Enunciado

Um balão esférico com raio de r polegadas tem o volume V r = 4 3 ⋅ π r 3 . Encontre uma função que represente a quantidade de ar necessária para inflar o balão de um raio r até um raio r + 1 polegadas.

Passo 1

Opa, bora lá!

Aqui nós temos um balão esférico de raio r . E vamos inflar esse balão até ele ter raio r + 1 .

Quanto ar precisamos pra fazer isso? Qual a função que representa essa quantidade de ar?

Bom, quando falamos em quantidade de ar, estamos falando em volume. A gente quer descobrir o aumento do volume. Então, naturalmente, vamos relembrar o volume da esfera raio r :

V = 4 3 π r 3

E a esfera de raio r + 1 ? Qual o volume dela?

Bom, pra descobrir isso, vamos substituir r + 1 no lugar de r na fórmula do volume. E a nossa resposta vai ser a diferença entre esses dois volumes.

Passo 2

Pra achar o volume do balão depois de ser inflado, vamos substituir r + 1 no lugar de r na fórmula do volume:

V ( r ) = 4 3 π ( r ) 3

Então:

V r + 1 = 4 3 π r + 1 3

Aplicando a fórmula da soma do cubo ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 :

V ( r + 1 ) = 4 π 3 ( r 3 + 3 r 2 + 3 r + 1 )

Passo 3

Portanto, a expressão do aumento de volume é dada pela diferença do volume final pelo volume inicial:

V r + 1 - V r = 4 π 3 r 3 + 3 r 2 + 3 r + 1 - 4 3 π r 3

Arrumando:

V r + 1 - V r = 4 π 3 ( 3 r 2 + 3 r + 1 )

Prontinho!

Resposta

V r + 1 - V r = 4 π 3 ( 3 r 2 + 3 r + 1 )

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