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Um balde de 10 kg, furado, é levantado do chão até uma altura de 12   m a uma velocidade constante, por uma corda que pesa 0,8 kg/m. Inicialmente o balde contém 36 kg de água, mas a água vaza a uma taxa constante e o balde acaba vazio exatamente quando atinge a altura de 12 m. Quanto trabalho foi realizado?

Passo 1

Na altura de x metros, com ( 0 ≤ x ≤ 12 ) , a massa da corda é 0.8 k g m 12 - x   m = ( 9.6 - 0.8 x ) kg, e a massa da água é 36 12 k g m 12 - x   m = ( 36 - 3 x ) kg . A massa do balde é 9.6 - 0.8 x + 36 - 3 x + 10 = ( 55.6 - 3.8 x ) kg, e consequentemente, a força total é 9.8 ( 55.6 - 3.8 x ) N.

Passo 2

O trabalho necessário para levantar o balde ∆ x   m através do i-ésimo subintervalo de [ 0,12 ] é 9.8 ( 55.6 - 3.8 x i * ) ∆ x , então, o trabalho total é

W = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 9.8 55.6 - 3.8   x i * ∆ x = ∫ 0 12 9.8 55.6 - 3.8 x d x = 9.8 55.6 - 1.9 x 2 0 12 =

9.8 393.6 ≈ 3857 J

Resposta

3857 J .

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