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Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta especificada: R 1 em torno de O A .

Passo 1

O volume gerado pela rotação de uma região pode ser calculado através da seguinte expressão:

V = ∫ a b A ( x ) d x

Na nossa questão, queremos saber o volume gerado pela rotação da região R 1 , que é um segmento de reta indo do ponto ( 0,0 ) ao ponto ( 1,1 ) . Antes de tudo, vamos encontrar essa função.

Vamos recordar lá da matemática básica a forma que escrevemos uma reta. Ela pode ser dada como

y = a x + b

Já que temos dois pontos, podemos definir facilmente uma reta, não é? Vamos substituir cada ponto de uma vez. Primeiro o ponto 0,0 .

0 = a 0 + b   → b = 0

Sabemos o valor do termo independente da equação! Precisamos encontrar o coeficiente angular a agora. Vamos substituir o segundo ponto:

1 = a 1 + 0   → a = 1

Assim, temos que a equação da reta é y = x ! Voltando para a questão, esse volume é calculado pelo método dos discos, onde temos várias circunferências sendo criadas ao longo do eixo de rotação. No nosso caso, estamos rotacionando a área em torno do eixo x , com o raio sendo a nossa função y = x . Assim, temos que

A x = π r 2 = π x 2

Passo 2

Galerinha, vamos primeiro achar o valor dessa integral indefinida e depois aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração. Assim, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f ( x ) d x = c ∫ f ( x ) d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1   + C

Logo,

∫ π x 2 d x = π ∫ x 2 d x = π ⋅ x 3 3 + C

Passo 3

Agora é tranquilo, pessoal! Para achar o volume basta resolver aquela integral apresentada no início do Passo 1. Nossos limites de integração aqui serão a = 0 e b = 1 pois são os pontos que delimitam a nossa região de trabalho. Assim, fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo:

V = ∫ 0 1 π x 2 d x = π x 3 3 0 1

V = π 1 3 3 - 0 3 3 = π 3

Resposta

O resultado final é:

V = π 3

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