Enunciado

Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada involuta do cículo. Se o círculo tiver raio r e centro O , se a posição inicial de P for ( r , 0 ) e se o parâmetro θ for escolhido como na figura, mostre que as equações paramétricas da involuta são

x = r ( cos ⁡ θ + θ s e n θ )                                         y = r ( s e n θ - θ cos ⁡ θ )

Passo 1

Queremos encontrar as equações paramétricas da curva traçada pelo barbante. A sacada que precisamos ter aqui é que o comprimento do segmento T P é apenas a quantidade de barbante desenrolada, que é o comprimento do arco do círculo correspondente ao ângulo θ .

O comprimento desse arco é r θ .

Olhando o desenho dado, podemos encontrar as coordenadas de P , iniciando com as coordenadas de T e subtraindo as componentes horizontal e vertical do segmento T P .

Inicialmente, o ponto T tem coordenadas r c o s   θ ,   r   s e n   θ , já que ele está em cima do contorno do nosso círculo.

Agora vamos usar um pouquinho nossa imaginação: pense em uma linha horizontal passando pelo ponto T . O ângulo que T P faz com essa linha horizontal é π 2 - θ .

Então vamos decompor T P : sua a componente horizontal é r θ cos ⁡ π 2 - θ .

Isto é igual a r θ s e n   θ , pois cos ⁡ π 2 - θ = s e n   θ .   (Confuso? Vamos dar um exemplo pra ficar melhor de entender: lembra que s e n π 6 = 1 2 e cos ⁡ π 3 = 1 2 ? Perceba que π 2 - π 3 = π 6 , a situação que temos no nosso problema é mesma desse exemplo: sempre que tivermos dois ângulos cuja soma seja igual a π 2 , o cosseno de um será igual ao seno do outro.)

Além disso, a componente vertical de T P é - r θ s e n π 2 - θ =   - r θ cos ⁡ θ .

Agora, se somarmos e subtrairmos estes dois das coordenadas x e y (respectivamente) de T, obtemos

x θ = r cos ⁡ θ + r θ   s e n   θ = r   ( cos ⁡ θ + θ s e n   θ )

y θ = r s e n   θ - r θ cos ⁡ θ = r   ( s e n   θ - θ cos ⁡ θ )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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