Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 73
Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto no final do barbante é chamada involuta do cículo. Se o círculo tiver raio e centro , se a posição inicial de for e se o parâmetro for escolhido como na figura, mostre que as equações paramétricas da involuta são
Passo 1
Queremos encontrar as equações paramétricas da curva traçada pelo barbante. A sacada que precisamos ter aqui é que o comprimento do segmento é apenas a quantidade de barbante desenrolada, que é o comprimento do arco do círculo correspondente ao ângulo .
O comprimento desse arco é
Olhando o desenho dado, podemos encontrar as coordenadas de , iniciando com as coordenadas de e subtraindo as componentes horizontal e vertical do segmento .
Inicialmente, o ponto tem coordenadas já que ele está em cima do contorno do nosso círculo.
Agora vamos usar um pouquinho nossa imaginação: pense em uma linha horizontal passando pelo ponto . O ângulo que faz com essa linha horizontal é
Então vamos decompor sua a componente horizontal é .
Isto é igual a pois (Confuso? Vamos dar um exemplo pra ficar melhor de entender: lembra que e ? Perceba que , a situação que temos no nosso problema é mesma desse exemplo: sempre que tivermos dois ângulos cuja soma seja igual a , o cosseno de um será igual ao seno do outro.)
Além disso, a componente vertical de é
Agora, se somarmos e subtrairmos estes dois das coordenadas x e y (respectivamente) de T, obtemos
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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