1.

Uma curva tem equação y 2 = x ³ . Encontre o comprimento da curva do ponto ( 1 , - 1 ) ao ponto ( 1,1 ) .

Resolução
2.

Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por

σ t = t - s e n   t ,   1 - cos ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

  1. Determine os instantes t 1 e t 2 ∈ [ 0,2 π ] em que v t = 1 .
  2. Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [ t 1 , t 2 ] .
Resolução
3.

Uma partícula se move numa hélice com vetor posição no tempo t , r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   2 t ,     t ≥ 0 . Qual é o tempo para que a distância percorrida seja 3 π ?

(a) 3 π 2

(b) 3 5 π

(c) 3 π 5

(d) 6 π

(e) 3 π

Resolução
4.

Uma curva C é a união de duas curvas C 1 e C 2 , onde C 1 é um segmento de reta e C 2 é uma porção da circunferência, conforme a figura. Pede-se:

  1. Parametrize curvas C 1 e C 2
  2. O comprimento total de C .
Resolução
5.

Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo da curva de equação dada durante o intervalo de tempo especificado:

σ t = t ,   3 t 2 ,   6 t 3 ,     0 ≤ t ≤ 2

Resolução
6.

Seja uma partícula cuja posição no espaço ao longo do tempo é descrita pela função vetorial s t = ( cos ⁡ 2 t , sen ⁡ 2 t ,   t ) , com t ∈ [ 0 ,   2 π ] .

Calcule o comprimento de arco (distância percorrida pela partícula) entre os tempos t = π 4 e t = π .

Resolução
7.

Dada a curva Γ definida por r → t = e t cos ⁡ t ,   e t sen ⁡ t ,   e t , t ≥ 0 .

Determine o comprimento da curva quando t varia de 0 até 1 .

Resolução
8.

A espiral logarítmica é a curva plana definida por γ t = ( e - t cos ⁡ t , e - t sen ⁡ t ) .

Calcule o comprimento de arco entre γ ( 0 ) e γ ( t ) .

Resolução
9.

Uma partícula se move numa hélice com vetor posição no tempo t , r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   2 t ,     t ≥ 0 . Qual é o tempo para que a distância percorrida seja 3 π ?

(a) 3 π 2

(b) 3 5 π

(c) 3 π 5

(d) 6 π

(e) 3 π

Resolução
10.

Determine o comprimento da astroïde parametrizada por

x t = cos 3 ⁡ ( t ) y t = sen 3 ⁡ ( t )     ,   0 ≤ t ≤ 2 π    

(a) 2 π

(b) 3 2 2 - 1

(c) 6

(d) 8

(e) 5 π 2

Resolução
11.

Considere a curva

α t = t 2 2 , 4 t 3 3 ,   2 t   , t > 0

Andando sobre a curva a partir do ponto 1 2 , 4 3 , 2 ao longo de um arco de comprimento igual a 8 , chegaremos ao ponto:

  1. 3 ,   2 3 ,   2
  2. 2 , 8 2 3 ,   4
  3. 49 2 , 28 7 3 ,   14
  4. 9 2 ,   4 3 ,   6
  5. Nenhuma das demais alternativas
Resolução
12.

Calcule o comprimento de arco da função r t = 3 t i + 2 sen ⁡ 2 t j + ( 2 cos ⁡ 2 t ) k , sendo 4 ≤ t ≤ 7 .

Resolução
13.

O comprimento da curva parametrizada por r t = t c o s t ,   t s e n t , 2 3 2 t 3 2 , t ∈ [ 0,2 π ] é?

Resolução
14.

O comprimento de uma curva parametrizada por

r t = t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t , 2 t 3 2 2 3   ,   t ∈ [ 0 ,   2 π ]

É:

  1.   2 π ( π + 1 )
  2. 2 π ( 2 π + 1 )
  3. π ( 2 π + 1 )
  4. π ( π + 1 )
Resolução
15.

Um objeto move-se no espaço R 3 , descrevendo uma curva de comprimento π . Ele parte do ponto 3 , 0,0 no instante t = 0 e sua posição ao longo do tempo é dada por 3 c o s t , 3 s e n t ,   t . Sua posição final é:

a) 0 , 3 , π / 2

b) - 3 , 0 , π

c) 3 , 0,2 π

d) 0 , - 3 , 1

e) ( 15 ,   π / 2   , 0 )  

f) ( 3 π / 2 ,   0 , 7 )

Resolução
16.

Considere a curva parametrizada por:

r t = c o s t , s e n t , a t ,   t ∈ 0,2 π

Onde a > 0 . Sabendo-se que o seu comprimento é 2 5 π , quanto vale a ?

a) a = 2

b) a = 1

c) a = 0

d) a = π

e) Nenhuma das alternativas

Resolução
17.

Qual o valor de a > 0 para que o comprimento da hélice parametrizada por

r → t = c o s t , s e n t , a t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Seja 4 π ?

a) Nenhuma das alternativas

b) a = 2

c) a = 1

d) a = 2

e) a = 16 π 2 - 1

Resolução
18.

O comprimendo da curva dada pela interseção do cilindro

x 2 + y 2 2 = 1

Com o plano

x = z

É:

  1. 2 π
  2. π
  3. π 2
  4. 2 2 π
  5. 2 π
Resolução
19.

Encontre o comprimento de arco da curva

r t = t 3 , 2 t ,   5 ,

Quando t ∈ 0 ,   1 .

Resolução
20.

Considere a curva C parametrizada por r t = t 2 , sen ⁡ t - t cos ⁡ t , cos ⁡ t + t sen ⁡ t ,           t ∈ - 1,1 .

O comprimento de C é:

  1. 2 5
  2. 5
  3. 0
  4. 1 6
  5. 7 6
Resolução
21.

Qual o valor de A > 0 de modo que o comprimento da curva parametrizada por

r t = t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t , 2 3 2 t 3 2   ,   t ∈ [ 0 , A ]

Seja igual a 4 ?

  1. 2
  2. 2 π
  3. 3 2
  4. 4
  5. π
Resolução
22.

Qual o valor de A > 0 de modo que o comprimento da curva parametrizada por

r t = t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t , 2 3 2 t 3 2   ,   t ∈ [ 0 , A ]

Seja igual a 4 ?

  1. 2
  2. 2 π
  3. 3 2
  4. 4
  5. π
Resolução
23.

Considere a curva C parametrizada por r → t = cos 3 ⁡ t ,   s e n 3 t para 0 ≤ t ≤ π 4 .

a) Mostre que r → não é uma parametrização pelo comprimento de arco.

b) Reparametrize a curva C pelo comprimento de arco.

Resolução
24.

Seja r   : 0 , T → R 3 uma parametrização de uma curva no espaço C , definida no intervalo [ 0 , T ] , com T > 0 . Suponha que r seja continuamente diferenciável, com derivada denotada por r ' . Assinale a alternativa incorreta:

  1. Se o comprimento de arco de uma curva é igual a T , então r ' t = 1 , para todo t ∈ [ 0 , T ]
  2. Se r ' t = k para todo t ∈ [ 0 , T ] , onde k > 0 é uma constante, então o comprimento de arco da curva é k T .
  3. Se r ' t = k para todo t ∈ [ 0 , T ] , onde k > 0 é uma constante, então a curva C está contida em uma esfera centrada na origem.
  4. Se a curva está contida em uma esfera centrada na origem, então r t ∙ r ' t = 0 para todo t ∈ [ 0 , T ]
  5. Se r ' t = ( a , b , c ) ≠ ( 0,0 , 0 ) para todo t ∈ [ 0 , T ] , onde a , b , c   são constantes, então a curva é uma reta.
Resolução
25.

Seja C a curva parametrizada por

r → t = 4 s e n   t ,   3 t ,   - 4 cos ⁡ t ,     π ≤ t ≤ 2 π .

  1. Reparametriza a curva C em relação ao comprimento de arco.
  2. Determine o comprimento da curva C .
  3. Seja F → x , y , z = 0 , y , 0 . Determine

∫ C F → . d r →

Resolução
26.

Encontre o comprimento da curva r → t = 2 t i ^ + 2 t j ^ + 1 - t 2 k ^ de ( 0,0 , 1 ) a ( 2,2 , 0 ) .

Resolução
27.

Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial r t → = 6 t 3 i - 2 t 3 j - 3 t 3 k , considerando 1 ≤ t ≤ 2

  1. 21
  2. 14
  3. 49
  4. 7
  5. 28
Resolução
28.

Uma curva C é parametrizada por r t = ( 5 cos ⁡ t , 5 sen ⁡ t ,   2 t ) , 0 ≤ t ≤ π . Marque a alternativa correspondente ao comprimento L da curva C e sua projeção no plano x y , respectivamente:

  1. L = 3 π e semicircunferência de raio 5 .
  2. L = 3 5 π e semicircunferência de raio √ 5 .
  3. L = 2 e semicircunferência de raio √ 5 .
  4. L = 2 π e semicircunferência de raio 5 .
  5. L = 3 π e semicircunferência de raio √ 5 .
Resolução
29.

O comprimento da curva dada por r t = sen ⁡ t cos ⁡ t , sen 2 ⁡ t ,   t 2 , com 0 ≤ t ≤ 3 é:

  1. 3
  2. 2 3
  3. 2 2
  4. 3 3
  5. 3 2
Resolução
30.

Seja C uma curva com parametrização x t , y t , z t ,   t ∈ R ,   e supondo que as coordenadas satisfaçam as equações:

x ' ' + x = 0 , y = - x ' , z ' = 4 , x 0 = 0 ,   y 0 = - 2 ,   z 0 = 2 .

a) Encontre fórmulas explícitas para x t ,   y t ,   z t .

b) Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva C no ponto P 0 = 2 ,   0 ,   2 π + 2 .

c)Calcule o comprimento do trecho da curva C   obtido restringindo-se o parâmetro ao intervalo t ∈ [ - π ,   5 π ]

Resolução
31.

Considere a curva C parametrizada por r t = e t - t , 4 e t 2 , t ∈ R . O comprimento do arco de C entre os pontos r 0 e r 1 é:

a) e 2

b) e + 2

c) 3 e + 1

d) 2 e

e) e

Resolução
32.

Dada a curva

γ t = t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

b) Calcule γ ' ( t )

c) Calcule o comprimento do arco do ponto γ ( 0 ) até γ ( 2 π ) .

Resolução
33.

Seja dada a curva

r → t = c o s t + t s e n t ,   s e n t - t c o s t , 1 2 t 2 ,   t ≥ 0

  1. Para cada valor do parâmetro t , encontre um vetor tangente e um vetor tangente unitário.
  2. Encontre o comprimento do arco, s , quando o parâmetro varia entre t = 0 e t = r
  3. Reparametrize a curva, agora com o comprimento do arco como novo parâmetro.
Resolução

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