Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 31
Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para o caso onde :
Aqui, é a região do plano que corresponde à região do plano sob a transformação dada por
[Sugestão: observe que o lado esquerdo é e aplique a primeira parte da Equação 5. Converta a integral de linha sobre para uma integral sobre e aplique o Teorema de Green no plano .]
Passo 1
Como sugerido, vamos pegar a parte da esquerda e aplicar (5)
Mundando de variáveis,
Para encontrar o diferencial vamos usar a regra da cadeia
considerando que é a correspondente a no plano
Passo 2
Aplicando o Teorema de Green
Onde
Calculando a primeira derivada
Agora a derivada do segundo termo
Subtraido as duas
Podemos notar que
Que se cancelam e ficamos com
Passo 3
Usando 15.9.7
Como temos
Substituindo na integral
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Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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