Enunciado

Um barril em forma cilíndrica, com s metros de diâmetro e w newtons de peso, flutua na água. O barril se movimenta para cima e para baixo ao longo de uma linha vertical. Usando a figura 1.23(b), determine a equação diferencial para o deslocamento vertical y ( t ) , supondo a origem no eixo vertical na superfície da água quando o barril está em repouso. Use o princípio de Archimedes: o impulso da água no barril é igual ao peso da água deslocada. A densidade da água é 1000 k g m 3 . Suponha o sentido positivo para baixo e ignore a resistência da água.

Passo 1

Bom, vamos lá pensar nesse problema. A gente tem um barril dentro da água assim olha:

E ele ta flutuando ali na água né, fazendo o movimento pra cima e pra baixo ao longo dessa linha vertical do desenho.

Então podemos pensar em algo assim olha:

E aí queremos encontrar uma EDO pra esse deslocamento y ( t ) de quando o barril fica indo pra cima e pra baixo, vamos lá?

Passo 2

Pelo princípio de Arquimedes, temos que o impulso da água no barril é igual o peso da água deslocada. Ta, mas qual é o peso da água deslocada?

Gente, o enunciado nos disse que a densidade da água é 1000 k g m 3 , podemos usar isso a nosso favor: multiplicando a densidade pelo volume de água deslocada, temos o peso, sacou? Afinal, pensando nas unidades de medida: k g m 3 . m 3 = k g hihihi

Então:

I m p u l s o = D e n s i d a d e . V o l u m e   d e   á g u a   d e s l o c a d a

I m p u l s o = 1000 . V o l u m e   d e   á g u a   d e s l o c a d a

Mas e aí, qual é o volume de água deslocada? Como o barril é um cilindro, vamos usar o volume de cilindro: π . r 2 . h

No barril, temos r = s 2 e a altura h vai ser justamente o deslocamento y (lembrando que não estamos calculando o volume do barril como um todo, e sim o volume de barril que sobe e desce)

I m p u l s o = 1000 . π . s 2 2 . y

I m p u l s o = 1000 . π . s 2 4 . y

Então:

I m p u l s o = 250 π . s 2 . y

Passo 3

Já encontramos o impulso que a água faz no barril, que é uma força que vai pra cima, certo?

Mas também temos a força peso do barril, que é uma força que aponta para baixo e vale w , então, usando a segunda lei de Newton:

w = - I m p u l s o

w = - 250 π . s 2 . y

Podemos escrever o peso w como m a s s a . a c e l e r a ç ã o , sendo que a massa vale w g :

w g . a = - 250 π . s 2 . y

Mas a aceleração é a segunda derivada da posição, então:

w g . d 2 y d t 2 = - 250 π . s 2 . y

Então, chegamos na nossa equação diferencial:

w g . d 2 y d t 2 + 250 π . s 2 . y = 0

Resposta

w g . d 2 y d t 2 + 250 π . s 2 . y = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Os problemas de 8 a 13 envolvem equações da forma d y / d t = f y . Em cada problema, esboce o gráfico de f ( y ) em função de y , determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique-os como as
Os problemas de 8 a 13 envolvem equações da forma d y / d t = f y . Em cada problema, esboce o gráfico de f ( y ) em função de y , determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique-os como as
Os problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma d y / d t = f y . Em cada problema, esboce o gráfico de f ( y ) em função de y , determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um com
Os problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma d y / d t = f y . Em cada problema, esboce o gráfico de f ( y ) em função de y , determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um com
Os problemas de 8 a 13 envolvem equações da forma d y / d t = f y . Em cada problema, esboce o gráfico de f ( y ) em função de y , determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique-os como as