Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.4 - Ex. 78
Se uma bola de metal de massa for lançada na água e a força de resistência for proporcional ao quadrado da velocidade, então a distância que a bola percorreu até o instante é dada por
em que é uma constante positiva. Encontre .
Passo 1
Eaeee, belezinha? Bom... O enunciado deu uma expressão para a distância percorrida por uma bola em movimento na água e pede para calcularmos o limite quando . Veja a expressão:
Lembrando que queremos o seguinte limite:
Mas o que significa esse aí no limite??
Ent��o, esse sinal aí significa que queremos o limite de quando tende a zero pelos números positivos, ou seja, pelos números a direita de zero!!
Também, para resolver o problema, vamos precisar lembrar algumas coisas do cosseno hiperbólico:
A derivada do cosseno hiperbólico é , onde o seno hiperbólico é
E aí? Bora lá??
Passo 2
Note que quando , , de modo que o cosseno hiperbólico tende a .
Como , o limite é indeterminado do tipo e, assim podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Vamos calcular a derivada no numerador a parte:
Assim, aplicando a regra de L’Hospital, o limite fica
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável: , de modo que . Assim o limite fica
Como , temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital novamente. A derivada da tangente hiperbólica é . Assim, aplicando a regra:
Assim,