Enunciado

Se uma bola de metal de massa m for lançada na água e a força de resistência for proporcional ao quadrado da velocidade, então a distância que a bola percorreu até o instante t é dada por

s ( t )   = m c   l n   c o s h   g c m t

em que c é uma constante positiva. Encontre l i m c → 0 + s ( t ) .

Passo 1

Eaeee, belezinha? Bom... O enunciado deu uma expressão para a distância percorrida s t por uma bola em movimento na água e pede para calcularmos o limite quando c → 0 + . Veja a expressão:

s ( t )   = m c   l n   c o s h   g c m t

Lembrando que queremos o seguinte limite:

l i m c → 0 + s ( t )

Mas o que significa esse " + " aí no limite??

Ent��o, esse sinal aí significa que queremos o limite de s t quando c tende a zero pelos números positivos, ou seja, pelos números a direita de zero!!

Também, para resolver o problema, vamos precisar lembrar algumas coisas do cosseno hiperbólico:

c o s h   x   =   e x + e - x 2

A derivada do cosseno hiperbólico é ( c o s h   x ) ' = s e n h   x , onde o seno hiperbólico é

s e n h   x = e x - e - x 2

E aí? Bora lá??

Passo 2

Note que quando c → 0 + , g c m t   → 0 , de modo que o cosseno hiperbólico tende a 1 .

Como l n ( 1 ) = 0 , o limite é indeterminado do tipo 0 0 e, assim podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Vamos calcular a derivada no numerador a parte:

l n   c o s h   g c m t ' = 1 c o s h   g c m t   s e n h   g c m t     1 2   g c m t   g m t ∴

l n   c o s h   g c m t ' = 1 2   t g h g c m t     g c m t

Assim, aplicando a regra de L’Hospital, o limite fica

l i m c → 0 + s t = l i m c → 0 + m c ln ⁡ cosh ⁡ g c m t ∴

l i m c → 0 + s t = l i m c → 0 + m 2     t g h g c m t     g c m t

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável: x = g c / m t   , de modo que c = m t x 2 / g . Assim o limite fica

l i m c → 0 + m 2   t g h g c m t   g c m t = m 2   l i m x → 0 + t g h   x   g m t x ∴

l i m c → 0 + m 2   t g h g c m t   g c m t = g 2 t   l i m x → 0 + t g h   x x

Como t g h   0 = 0 , temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hospital novamente. A derivada da tangente hiperbólica é ( t g h   x ) ' = s e c h 2 x = 1 / c o s h 2 x . Assim, aplicando a regra:

g 2 t   l i m x → 0 + t g h   x x = g 2 t l i m x → 0 + s e c h 2 x 1 ∴

g 2 t   l i m x → 0 + t g h   x x = g 2 t l i m x → 0 + 1 c o s h 2 x ∴

g 2 t   l i m x → 0 + t g h   x x = g 2 t

Assim,

l i m c → 0 + s = g 2 t

Resposta

l i m c → 0 + s t = g 2 t

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