(e^x + 1) dy/dx = y - y e^x

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Este é um típico problema que podemos partir direto para determinar a solução, visto que é um problema de separação de variáveis.

Então podemos reescrever nossa equação como

d y y = 1 - e x 1 + e x d x

Assim integrando em ambos os lados, temos

ln ⁡ y = ∫ 1 - e x 1 + e x d x

Para integrarmos isso, vamos fazer o seguinte. Tome que 1 + e x - 2 e x = 1 - e x . Desta forma temos que

1 - e x 1 + e x = 1 + e x - 2 e x 1 + e x = 1 - 2 e x 1 + e x

Agora vamos fazer e x = u → e x d x = d u o que nos da

ln ⁡ y = ∫ d x - ∫ 2 d u 1 + u = x - 2 ln ⁡ 1 + e x + c

Assim nos resta

y = C e x 1 + e x - 2

Resposta

y = C e x 1 + e x - 2

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