2 \* sen y \* sen x \* cos x + cos y \* sen^2 x \* dy/dx = 0

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Primeiro vamos manipular a nossa equação e verificar se ela é exata. Nossa equação pode ser escrita como

2   s e n   y   s e n   x cos ⁡ x d x - cos ⁡ y   s e n 2 x d y = 0

Agora vamos aplicar a relação do passo anterior, onde

∂ ∂ x cos ⁡ y   s e n 2 x = 2 cos ⁡ y cos ⁡ x   s e n   y = ∂ ∂ y ( 2   s e n   y   s e n   x cos ⁡ x )

Na qual pode se ver que nossa função é exata.

Neste ponto podemos partir para resolver nossa equação diferencial e achar nossa solução.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

∂ ϕ ∂ x = 2   s e n   y   s e n   x cos ⁡ x

E

∂ ϕ ∂ y = cos ⁡ y   s e n 2 x

Assim temos que

ϕ = ∫ 2   s e n   y   s e n   x cos ⁡ x d x =   s e n   y   s e n 2 x + C ( y )

Perceba que essa integral a gente sabe fazer de cor, pois a gente acabou de fazer a derivada. Entretanto se você quiser fazer, basta tomar a substituição s e n   x = u .

Agora se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar cos ⁡ y   s e n 2 x   como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y s e n   y   s e n 2 x + C ( y ) = cos ⁡ y   s e n 2 x + C ' y = cos ⁡ y   s e n 2 x

Desta forma temos que C ' y = 0 → C y = C e nossa solução é

ϕ x , y = s e n   y   s e n 2 x + C = 0

Resposta

s e n   y   s e n 2 x + C = 0

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