Enunciado

(d y)/(d x) + 2 y = e^(- x^2 - 2 x) , y (0) = 3

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Uma forma de resolver nosso problema é já supor que é nosso fator integrante olhando para os dois primeiros termos da esquerda. Vamos multiplicar tudo por e^(2 x) e assim

e^(2 x) y^' + 2 e^(2 x) y = (del)/(del x) (e^(2 x) y) = e^(- x^2 - 2 x) e^(2 x) = e^(- x^2)

Assim nos resta apenas integrar tudo em x , ou seja

e^(2 x) y = int e^(- x^2) d x

Vamos resolver nosso problema com uma pequena técnica.

Não sabemos resolver int e^(- x^2) d x , mas vamos supor que sabemos e seu valor de I , então

I^2 = int e^(- x^2) d x * int e^(- x^2) d x

Mas como trocar x por y não muda o valor da nossa integral, então

I^2 = int e^(- x^2) d x * int e^(- y^2) d y = ∬ e^(- (x^2 + y^2)) d x d y

E vamos fazer agora uma substituição por coordenadas polares, ou seja

x = r cos theta e y = r s e n theta

O que implica em d x d y = r d r d theta

Assim temos

I^2 = ∬ r e^(- r^2) d r d theta

E agora vamos pra mais uma substituição, onde - r^2 = u -> r d r = - d u

I^2 = - 2 pi int e^u d u = - 2 pi e^u = - 2 pi e^(- r^2)

Assim

I = sqrt(2 pi) e^(- r) = sqrt(2 pi) e^(- (x^2 + y^2)^((1)/(2)))

Nisso chegamos em

e^(2 x) y = sqrt(2 pi) e^(- (x^2 + y^2)^((1)/(2))) + C

E por fim

y = sqrt(2 pi) e^(- (x^2 + y^2)^((1)/(2)) - 2 x) + C e^(- 2 x)

A resposta do livro, temos que apenas não resolvemos nossa equação e assumimos que

e^(2 x) y = int_0^x e^(- s^2) d s + C

Implicando em

y = e^(- 2 x) int_0^x e^(- s^2) d s + C e^(- 2 x)

Tomando nosso valor inicial y (0) = 3

3 = int_0^0 e^(- s^2) d s + C

Como a integral de 0 á 0 é nula, então C = 3 , assim temos

y = e^(- 2 x) int_0^x e^(- s^2) d s + 3 e^(- 2 x)

Agora vocês tem as duas resposta. A resolvida e a que o livro nos dá.

Resposta

y = e^(- 2 x) int_0^x e^(- s^2) d s + 3 e^(- 2 x)

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