dy/dx + 2y = e^(-x^2 - 2x), y(0) = 3

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Uma forma de resolver nosso problema é já supor que é nosso fator integrante olhando para os dois primeiros termos da esquerda. Vamos multiplicar tudo por e 2 x e assim

e 2 x y ' + 2 e 2 x y = ∂ ∂ x e 2 x y   = e - x 2 - 2 x e 2 x = e - x 2

Assim nos resta apenas integrar tudo em x , ou seja

e 2 x y = ∫ e - x 2 d x

Vamos resolver nosso problema com uma pequena técnica.

Não sabemos resolver ∫ e - x 2 d x , mas vamos supor que sabemos e seu valor de I , então

I 2 = ∫ e - x 2 d x ⋅ ∫ e - x 2 d x

Mas como trocar x por y não muda o valor da nossa integral, então

I 2 = ∫ e - x 2 d x ⋅ ∫ e - y 2 d y = ∬ e - x 2 + y 2 d x   d y

E vamos fazer agora uma substituição por coordenadas polares, ou seja

x = r cos ⁡ θ e y = r   s e n   θ

O que implica em d x   d y = r   d r   d θ

Assim temos

I 2 = ∬ r e - r 2 d r d θ

E agora vamos pra mais uma substituição, onde - r 2 = u → r   d r = - d u

I 2 = - 2 π ∫ e u d u = - 2 π e u = - 2 π e - r 2

Assim

I = 2 π e - r = 2 π e - x 2 + y 2 1 2

Nisso chegamos em

e 2 x y = 2 π e - x 2 + y 2 1 2 + C

E por fim

y = 2 π e - x 2 + y 2 1 2 - 2 x + C e - 2 x

A resposta do livro, temos que apenas não resolvemos nossa equação e assumimos que

e 2 x y = ∫ 0 x e - s 2 d s + C

Implicando em

y = e - 2 x ∫ 0 x e - s 2 d s + C e - 2 x

Tomando nosso valor inicial y 0 = 3

3 = ∫ 0 0 e - s 2 d s + C

Como a integral de 0 á 0 é nula, então C = 3 , assim temos

y = e - 2 x ∫ 0 x e - s 2 d s + 3 e - 2 x

Agora vocês tem as duas resposta. A resolvida e a que o livro nos dá.

Resposta

y = e - 2 x ∫ 0 x e - s 2 d s + 3 e - 2 x

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