dy/dx = -(2xy + 1)/(x^2 + 2y)

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Vamos primeiro ajeitar nossa equação.

2 x y + 1 d x + ( x 2 + 2 y ) d y = 0

Assim tome

∂ x 2 + 2 y ∂ x - ∂ 2 x y + 1 ∂ y = 2 x - 2 x = 0

Ou seja, nossa função é exata.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temosque

∂ ϕ ∂ x = 2 x y + 1

E

∂ ϕ ∂ y = x 2 + 2 y

Assim temos que

ϕ = ∫ 2 x y + 1 d x = x 2 y + x + C ( y )

Onde se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar x 2 + 2 y como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y x 2 y + x + C ( y ) = x 2 + C ' y = x 2 + 2 y

Desta forma temos que C ' y = 2 y → C y = y 2 + C e nossa solução é

ϕ x , y = x 2 y + x + y 2 + C = 0

Resposta

ϕ x , y = x 2 y + x + y 2 + C = 0

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