(x+y) + (x+2y) dy/dx = 0, y(2) = 3

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y ' = 0 é exata, tomamos

∂ N ∂ x - ��� M ∂ y

E verificamos se seu valor é nulo.

Para resolver essa equação diferencial do tipo:

x + y + x + 2 y d y d x = 0

primeiro observamos que ela pode ser reescrita na forma:

M x , y + N x , y ⋅ d y d x = 0

Ou:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Com M x , y = x + y e N x , y = x + 2 y

Esse tipo de equação pode ser tratada como uma equação diferencial exata, ou, se não for exata, pode ser tornada exata através de um fator integrante.

Se for exata, existe uma função ϕ x , y tal que:

∂ ϕ ∂ x = M x , y

E:

∂ ϕ ∂ y = N x , y

e a solução geral é dada implicitamente por:

ϕ x , y = C

Passo 2

Vamos primeiro verificar se nossa função é exata. Para isso

∂ ∂ x x + 2 y - ∂ ∂ y x + y = 1 - 1 = 0

Assim nossa funç��o é dita exata.

Desta forma podemos partir para próxima etapa para descobrirmos a solução da nossa equação diferencial.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Tome que se existe uma função ϕ ( x , y ) que da origem a nossa equação diferencial, temos que:

∂ ϕ ∂ x = x + y

E

∂ ϕ ∂ y = x + 2 y

Assim temos que

ϕ = ∫ x + y d x = x 2 2 + x y + C ( y )

Onde se derivarmos nosso ϕ deveríamos encontrar x + 2 y como sugere nossa equação diferencial.

∂ ϕ ∂ y = ∂ ∂ y x 2 2 + x y + C ( y ) = x + C ' y = x + 2 y

Desta forma temos que C ' y = 2 y → C y = y 2 + C e nossa solução geral é:

ϕ x , y = x 2 2 + x y + y 2 + C = 0

Mas nosso enunciado nos deu a condição inicial y 2 = 3 . Então, podemos definir o valor da constante C substituindo os valores em:

x 2 2 + x y + y 2 + C = 0

2 2 2 + 2 ∙ 3 + 3 2 + C = 0

2 + 6 + 9 + C = 0

C = 17

Portanto, nossa solução é:

x 2 2 + x y + y 2 + 17 = 0

Resposta

x 2 2 + x y + y 2 + 17 = 0

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