26. y^4 - 7y''' + 6y'' + 30y' - 36y = 0

Passo 1

Para começar esse problema, podemos comparar a EDO que temos que resolver com a equação característica...

r 4 - 7 r 3 + 6 r 2 + 30 r - 36 = 0

Essa equação característica é um pouquinho mais chata, pois infelizmente não é fácil de descobrir as raízes dela por Briot Rufini . Como o próprio Boyce sabe disso, ele nos sugeriu nessa questão que utilizemos um recurso computacional. Então usando aqui o WolframAlpha para resolver essa equação, obteremos as raízes reais...

r 1 = - 2

r 2 = 3

r 3 = 3 + 3

r 4 = 3 - 3

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

Vamos começar montando as soluções fundamentais para dada r :

  • Para r 1 = - 2 como ele é real...
  • y 1 = e r 1 t = e - 2 t

  • Para r 2 = 3 como ele é real...
  • y 2 = e r 2 t = e 3 t

  • Para r 3 = 3 + 3 como ele é real...
  • y 3 = e r 3 t = e 3 + 3 t

  • Para r 4 = 3 - 3 como ele é real...

y 4 = e r 4 t = e 3 - 3 t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4   →

y = c 1 e - 2 t + c 2 e 3 t + c 3 e 3 + 3 t + c 4 e 3 - 3 t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 e - 2 t + c 2 e 3 t + c 3 e 3 + 3 t + c 4 e 3 - 3 t

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